二次関数の平方完成・最大値最小値｜定義域と場合分け・無料30問

答え：y = (x + 2)² – 1

まず x² + 4x の部分を見ます。x の係数 4 の半分は 2 なので、カッコは (x + 2)² になります。

(x + 2)² = x² + 4x + 4 なので、元の x² + 4x + 3 にするには、増えすぎた 4 を引いて -1 にします。

だから y = (x + 2)² – 1 です。平方完成は、答えを変形しているだけではなく、グラフの軸と頂点を見える形にする作業です。

答え：y = (x – 3)² – 4

x² – 6x の -6 の半分は -3 です。だから、まず (x – 3)² を考えます。

(x – 3)² = x² – 6x + 9 です。元の式は +5 なので、+9 から 4 を引いて調整します。

したがって y = (x – 3)² – 4。ここから、頂点は (3, -4)、軸は x = 3 と分かります。

答え：y = 2(x + 2)² – 7

係数があるときは、いきなりカッコを作らず、まず 2x² + 8x を 2(x² + 4x) とくくります。

x² + 4x = (x + 2)² – 4 なので、2{(x + 2)² – 4} + 1 になります。

整理すると 2(x + 2)² – 8 + 1 = 2(x + 2)² – 7。よって頂点は (-2, -7) です。

答え：y = -(x – 2)² + 5

マイナスがついているときは、まず -(x² – 4x) + 1 と考えます。

x² – 4x = (x – 2)² – 4 なので、-{(x – 2)² – 4} + 1 です。

整理すると -(x – 2)² + 4 + 1 = -(x – 2)² + 5。上に凸なので、頂点 (2, 5) は最大値を考えるときに大事になります。

答え：二次関数のグラフの軸と頂点を読みやすくするため

平方完成は、ただの計算練習ではありません。二次関数の式を、グラフの情報が見える形に直す作業です。

たとえば y = (x – 1)² – 2 なら、カッコの中を 0 にする x = 1 が軸、頂点は (1, -2) です。

最大値・最小値や定義域の問題では、この軸と頂点が出発点になります。だから、平方完成があいまいだと、その先の問題が急に難しく見えます。

答え：x = 2

軸は、放物線の真ん中を通る縦の線です。y = (x – 2)² + 3 では、カッコの中 x – 2 が 0 になるところを探します。

x – 2 = 0 なので、x = 2。よって軸は x = 2 です。

ここで -2 と答えたくなる人は、カッコの中の符号をそのまま読んでしまっています。軸は「カッコの中を0にするx」です。

答え：(-1, -4)

(x + 1)² が一番小さくなるのは、カッコの中が 0 になるときです。つまり x + 1 = 0 なので x = -1。

そのとき (x + 1)² = 0 なので、y = -4 になります。

よって頂点は (-1, -4) です。頂点は「軸の x 座標」と「外に出ている数」のセットで読みます。

答え：軸 x = 3、頂点 (3, 5)

x – 3 = 0 なので、軸は x = 3 です。外にある数は +5 なので、頂点の y 座標は 5 です。

したがって頂点は (3, 5)。先頭のマイナスは、放物線が上に開くか下に開くかを表します。

つまり、この式では頂点が一番高い点になります。最大値を考えるときに、この頂点が重要です。

答え：(2, -3)

この式はまだ平方完成の形ではないので、まず x² – 4x + 1 を変形します。

x² – 4x = (x – 2)² – 4 なので、y = (x – 2)² – 4 + 1 = (x – 2)² – 3 です。

したがって軸は x = 2、頂点は (2, -3) です。平方完成してから読む、という順番が大切です。

答え：x = -4

x + 4 = 0 になるのは x = -4 です。だから軸は x = -4 です。

前についている 3 は、放物線の開き方を細くします。しかし、カッコの中が0になる位置は変わりません。

軸・頂点の問題では、まずカッコの中を0にする。このクセがつくと、最大値・最小値の問題に入りやすくなります。

答え：x は 0 以上4以下の範囲だけを見る

定義域は、x が動いてよい範囲です。0 ≦ x ≦ 4 なら、x は 0 から 4 までの間だけを考えます。

二次関数のグラフ全体を見るのではなく、その範囲だけを切り取って見るイメージです。

最大値・最小値の問題では、この定義域を見落とすと答えが変わります。頂点があっても、定義域の外なら使えません。

答え：中にある

定義域は 0 ≦ x ≦ 4 なので、見る範囲は x = 0 から x = 4 までです。

軸 x = 2 は、その間にあります。したがって、頂点も定義域に対応するグラフの範囲内にあります。

下に凸の二次関数なら、軸が定義域の中にあると、最小値は頂点で決まります。ここが最大・最小問題の大事な分岐です。

答え：定義域の右にはみ出している

0 ≦ x ≦ 4 の範囲は、x = 0 から x = 4 までです。軸 x = 5 はその右側にあります。

この場合、頂点は定義域の外にあります。だから、最大値・最小値を考えるときに、単純に頂点の値を答えにしてはいけません。

定義域の中だけで見るので、端点 x = 0 や x = 4 が重要になります。

答え：x = -1 と x = 3

定義域の端点とは、見る範囲の左端と右端です。-1 ≦ x ≦ 3 なら、端点は x = -1 と x = 3 です。

最大値・最小値では、頂点だけでなく端点の値も調べます。なぜなら、定義域で切ったグラフの一番高い点・低い点が端に来ることがあるからです。

下に凸の二次関数を、両端を含む有限の区間で考えると、最大値は必ず端点のどちらか、または両方でとります。

答え：定義域の中だけで見て、端点も確認する

下に凸なら、グラフ全体では頂点が一番低い点です。しかし、定義域がある場合は「その範囲だけ」を見ます。

もし頂点が定義域の外にあるなら、頂点の y 座標は答えにできません。見る範囲の中で、どこが一番低いかを考える必要があります。

このとき端点が大切です。定義域がある問題では、頂点が範囲内か、端点はどこか、という順番で確認しましょう。

答え：-2

このグラフは下に凸です。定義域がすべての実数なので、グラフ全体を見ます。

(x – 1)² は 0 以上なので、一番小さくなるのは x = 1 のときです。そのとき y = -2。

したがって最小値は -2 です。定義域がすべての実数の問題では、下に凸なら頂点が最小値になります。

答え：4

先頭にマイナスがあるので、この放物線は上に凸です。上に凸のグラフでは、頂点が一番高い点になります。

(x + 2)² が 0 になるのは x = -2。そのとき y = 4 です。

よって最大値は 4。上に凸・下に凸で、頂点が最大になるのか最小になるのかが変わります。

答え：1

まず軸を見ます。y = (x – 2)² + 1 なので、軸は x = 2 です。

定義域は 0 ≦ x ≦ 4。軸 x = 2 はこの範囲の中にあります。

下に凸で、頂点が定義域の中にあるので、最小値は頂点の y 座標 1 です。

答え：1

このグラフの軸は x = -1 です。定義域は 0 ≦ x ≦ 3 なので、頂点は見る範囲の外にあります。

頂点が範囲外なので、頂点の値 0 をそのまま答えにしてはいけません。定義域の中だけで見る必要があります。

範囲内では左端 x = 0 が一番低く、y = (0 + 1)² = 1。よって最小値は 1 です。

答え：6

軸は x = 5 です。定義域 1 ≦ x ≦ 3 より右にあります。

下に凸の放物線は、軸に近いほど値が小さくなります。この範囲では、軸に一番近いのは右端 x = 3 です。

x = 3 を代入すると、y = (3 – 5)² + 2 = 4 + 2 = 6。よって最小値は 6 です。

答え：4

下に凸の放物線で、定義域があるとき、最大値は端点で決まります。今回は端点が x = -1 と x = 3 です。

x = -1 のとき y = (-1 – 1)² = 4。x = 3 のとき y = (3 – 1)² = 4。

どちらも 4 なので、最大値は 4 です。最大値は頂点ではなく端点を見る、という感覚を持ちましょう。

答え：軸が定義域の中にあるか確認し、必要なら端点を見る

下に凸の二次関数では、グラフ全体で見れば頂点が一番低い点です。しかし、定義域があるときは、その頂点が見る範囲の中にあるかを確認します。

軸が定義域の中にあれば、最小値は頂点です。軸が定義域の外なら、定義域の中で軸に一番近い端点が最小になります。

だから基本手順は「軸を見る → 定義域と比べる → 頂点か端点か決める」です。ここが分かると、最大・最小の問題がかなり整理されます。

答え：最小値 2、最大値 6

まず平方完成します。x² – 2x + 3 = (x – 1)² + 2 なので、軸は x = 1、頂点は (1, 2) です。

定義域は 0 ≦ x ≦ 3。軸 x = 1 は範囲内なので、最小値は頂点の 2 です。

最大値は端点を比べます。x = 0 で 3、x = 3 で 6。よって最大値は 6 です。

答え：x = a

軸は、カッコの中を 0 にする x です。x – a = 0 なので、x = a です。

ここで大切なのは、軸が数字ではなく文字になっていることです。a の値によって、軸が左に行ったり右に行ったりします。

軸が動く問題の正体は、この動く軸が定義域のどこにあるかを考える問題です。

答え：a の値によって、放物線の中心の位置が変わるという意味

軸は放物線の中心です。x = a なら、a の値によって中心の位置が変わります。

たとえば a = 1 なら軸は x = 1、a = 5 なら軸は x = 5 です。

だから定義域がある場合、軸が範囲の中にあるのか、外にあるのかを分けて考える必要があります。これが場合分けの入口です。

答え：軸が定義域の左にはみ出している

定義域 0 ≦ x ≦ 4 は、x = 0 から x = 4 までです。

a < 0 なら、軸 x = a は 0 より左にあります。つまり、見る範囲の左にはみ出しています。

下に凸なら、範囲内では左端 x = 0 が軸に一番近くなるので、最小値は左端で決まります。

答え：軸が定義域の中にある

0 ≦ a ≦ 4 は、a が 0 から 4 の間にあるという意味です。

軸は x = a なので、軸も定義域 0 ≦ x ≦ 4 の中にあります。

下に凸の二次関数なら、この場合は頂点が定義域の中にあるので、最小値は頂点で決まります。

答え：軸が定義域の右にはみ出している

a > 4 なら、軸 x = a は x = 4 より右にあります。

定義域は 0 ≦ x ≦ 4 なので、軸は見る範囲の右にはみ出しています。

下に凸なら、範囲内では右端 x = 4 が軸に一番近くなります。だから最小値は右端で決まります。

答え：軸が定義域の左・中・右のどこにあるかで、最小値をとる場所が変わるため

場合分けというと難しく見えますが、見ているものはシンプルです。動く軸が、定義域の左にあるのか、中にあるのか、右にあるのかを分けています。

軸が中にあれば、下に凸の最小値は頂点で決まります。軸が左にあれば左端、右にあれば右端で決まります。

この3区分は、下に凸の二次関数の最小値を考える場合です。最大値は軸から遠い端点でとるので、軸が区間の中点より左か右かを比べます。軸が中点にあるときは、両端の値が等しくなります。

答え：1 ≦ a ≦ 5

定義域が 1 ≦ x ≦ 5 ということは、見る範囲は x = 1 から x = 5 までです。

軸は x = a なので、軸がこの範囲の中にあるためには、a も 1 以上5以下である必要があります。

したがって条件は 1 ≦ a ≦ 5 です。定義域の数字を、そのまま軸の条件に移すイメージです。