三角比の練習問題｜解説付き10問テストと公式まとめ【数学Ⅰ】

三角比の練習問題｜解説付き10問テスト

6つの分野から少なくとも1問ずつ出題します。 計算が必要な問題は、紙に途中式を書いてから選んでみましょう。

三角比とは？sin・cos・tanの定義

三角比は、直角三角形の辺の長さの比を、角度と結び付けたものです。 まず、基準にする角θを決めます。 「対辺」はθの向かい側の辺、「隣辺」はθに接する斜辺以外の辺、 「斜辺」は直角の向かい側にある最も長い辺です。

図を回転させても、基準の角から見た辺の関係は変わりません。 「縦・横」だけで覚えず、どの角から見た対辺・隣辺なのかを確認しましょう。

直角三角形による定義では0°＜θ＜90°を考えます。 0°・90°・鈍角・180°の値は、単位円の座標を使って考えます。

三角比の表｜0°〜180°の基本値

最初に30°・45°・60°の値を確認し、鈍角では符号を判断します。 tanはsinをcosで割った値ですが、cosが0になる90°では定義されません。

30°・45°・60°の覚え方

30°・60°は、正三角形を半分にした直角三角形で考えます。 30°・60°・90°の向かい側の辺の比は1：√3：2です。 45°は直角二等辺三角形なので、 2つの直角を挟む辺と斜辺の比は1：1：√2になります。

例えばtan30°は「30°の対辺÷隣辺」なので1/√3。 分母を有理化すると√3/3となり、表の値と一致します。 同様に1/√2と√2/2も同じ値です。

鈍角の三角比｜sinは正、cos・tanは負

単位円上の点をPとすると、Pのx座標がcosθ、y座標がsinθです。 90°＜θ＜180°では点Pが左上にあるため、 x座標は負、y座標は正になります。

120°なら180°−60°、150°なら180°−30°と考えると、 鋭角の基本値を使って計算できます。

三角比の相互関係｜公式と符号の決め方

三角比のうち1つが分かっているときは、相互関係を使います。

sin²θは(sinθ)²の意味です。 2つ目・3つ目の式はcosθ≠0のときに使います。

正弦定理・余弦定理・面積公式の使い分け

三角形ABCでは、角A・B・Cの向かい側の辺を、 それぞれa・b・cとします。 公式を選ぶ前に、分かっている辺と角を図に書き込みましょう。

正弦定理の例題｜外接円の半径を求める

Rは三角形の外接円の半径です。 式の右辺は半径Rではなく、直径にあたる2Rになっています。

余弦定理の例題｜2辺とその間の角から辺を求める

角Aは辺bと辺cの間にある角です。 角Aの向かい側の辺aを求めるときに使います。

三角形の面積｜2辺とその間の角を使う

掛け合わせる2辺と、その間の角を対応させます。 aとbを使う場合、その間の角はCです。

3辺しか分からない場合はどうする？

1. 余弦定理で、1つの角のcosを求めます。
2. sin²θ＋cos²θ＝1からsinを求めます。
3. 面積公式に代入します。

空間図形では、まず求める面を取り出す

切断面が三角形なら、三平方の定理などを使って辺の長さを求め、 平面の三角形として考えます。 切断面が四角形以上になる場合は、三角形への分割なども検討しましょう。 切断面が必ず三角形になるわけではありません。

三角比の練習問題でよくある間違い

解き直すときは、正解の選択肢を覚えるだけで終わらず、 「なぜこの公式を使うのか」を短く説明してみましょう。 途中式を見ずにもう一度計算できれば、理解を確かめられます。

三角比の練習についてよくある質問

三角比の次に取り組みたい数学の練習