共通テスト数学ⅠA対策｜条件・誘導・図表を読む無料50題・150問

正解：2：2500＋400n＜1500＋550n

本文の条件：Aの総額がBより安くなる

AがBより安いので、2500＋400n＜1500＋550nと置く。例えば固定料金の差は2500−1500＝1000円あり、400＜550だけでは総額の大小は決まらない。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 一人当たりの料金400円と550円を、AとBで取り違えています。式の各項をプランに対応させます。
2. 選択肢2：正解 — 安いという条件は、Aの総額がBの総額より小さいことです。固定料金も含めて比較します。
3. 選択肢3：不正解 — 一人当たりの料金だけを比較しています。固定料金2500円と1500円の違いも総額に含める必要があります。
4. 選択肢4：不正解 — 不等号の向きが逆です。この式はAの総額がBの総額より高い条件を表し、Aが安い条件にはなりません。

次の段階へ渡す結果：2500＋400n＜1500＋550n

正解：1：n＞20/3

本文の条件：Aの総額がBより安くなる

前段の式から400nと1500を両辺から引くと、1000＜150n。150＞0なので、両辺を150で割ってn＞1000/150＝20/3となる。ここではまだ実数としての境界を求めた段階である。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：正解 — 移項すると1000＜150nです。正の150で割ると、不等号の向きは変わらずn＞20/3になります。
2. 選択肢2：不正解 — 移項後の1000は固定料金の差です。一人当たりの差150で割らなければ、人数の境界にはなりません。
3. 選択肢3：不正解 — 1000を150で割るので、1000/150＝20/3です。分子と分母を逆にした3/20ではありません。
4. 選択肢4：不正解 — 150は正なので、割っても不等号は逆転しません。人数が増えるほどAの安い一人料金が有利になります。

次の段階へ渡す結果：n＞20/3。最後に人数が整数である条件を使う。

正解：7人

本文の条件：nは1以上30以下の整数 ／ Aの総額がBより安くなる

前段よりn＞20/3であり、20/3＝6＋2/3。nは1以上30以下の整数なので、最小は7。実際にn＝7ならAは5300円、Bは5350円でAが安い。n＝6ではAは4900円、Bは4800円となり、条件を満たさない。

結果として確認すること：Aが安くなる最小の人数は7人。

次に解くときは：料金比較では固定料金を含む総額を不等式にし、最後に整数条件を適用する。

正解：2：5√2 m

本文の条件：√18＋√8 mの正方形

一辺は√18＋√8である。√18＝√(9×2)＝3√2、√8＝√(4×2)＝2√2だから、3√2＋2√2＝5√2 mとなる。長さ同士を足していることを確認する。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 根号の和を一つにまとめて√(18＋8)とはできません。平方数の因数を取り出してから係数を足します。
2. 選択肢2：正解 — √18＝3√2、√8＝2√2です。同じ√2の係数を足すので、一辺は5√2 mになります。
3. 選択肢3：不正解 — 18から9、8から4を取り出すときは、その平方根3と2を係数にします。9と2を足す計算ではありません。
4. 選択肢4：不正解 — √2同士を足しても√4にはなりません。根号部分はそのままに、係数3と2だけを足します。

次の段階へ渡す結果：正方形の一辺は5√2 m。

正解：2：5L＝(5√2)²

本文の条件：面積を変えずに、幅5 mの長方形

前段で正方形の一辺は5√2 mと分かった。同じ面積、長方形の幅は5 mなので、長方形の面積5Lと正方形の面積(5√2)²を等しく置く。したがって5L＝(5√2)²である。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — これは二つの図形の周長を等しくする式です。指定されているのは周長ではなく面積の保存です。
2. 選択肢2：正解 — 長方形の面積は幅×長さの5L、正方形の面積は一辺の2乗です。両者を等しく置きます。
3. 選択肢3：不正解 — 右辺の4×5√2は正方形の周の長さです。面積を変えない条件に、周長を代入してはいけません。
4. 選択肢4：不正解 — 5＋Lは長方形の二辺の長さの和で、面積ではありません。幅と長さは掛け合わせる必要があります。

次の段階へ渡す結果：5L＝(5√2)²

正解：10 m

本文の条件：√18＋√8 mの正方形 ／ 面積を変えずに、幅5 mの長方形

前段の式は5L＝(5√2)²。右辺は5²×(√2)²＝25×2＝50なので、5L＝50、L＝10。10＞0も満たす。長方形の面積は5×10＝50 m²となり、元の正方形と一致する。

結果として確認すること：長方形の長さは10 m。

次に解くときは：根号の和は同類項に直し、保存される量が面積か周長かを区別して式を立てる。

正解：1：35人

本文の条件：どちらも希望しない人は5人

どちらも希望しない人が5人なので、その補集合である「少なくとも一方を希望」の人数は40−5＝35人。AとBの重なりがあっても、この引き算には影響しない。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：正解 — 40人から、どちらも希望しない5人を除きます。少なくとも一方を希望する人数は40−5＝35人です。
2. 選択肢2：不正解 — 全員がどちらかを希望したわけではありません。どちらも希望しない5人を除く必要があります。
3. 選択肢3：不正解 — 24＋21には両方を希望した人が二度含まれます。希望者の人数をそのまま足して集合の和にはできません。
4. 選択肢4：不正解 — 24−5はAの人数から無関係な5人を引いています。どちらも希望しない人は、もともとAにも含まれません。

次の段階へ渡す結果：AまたはBを希望する人数は35人。

正解：1：10人

本文の条件：A希望は24人、B希望は21人で、両方を希望してよい ／ どちらも希望しない人は5人

前段で和集合は35人。Aが24人、Bが21人なので、重なりをx人とすると24＋21−x＝35。よってx＝45−35＝10人である。足したときに重複する10人を一度引くことで、和集合の人数になる。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：正解 — 24＋21では重なりを二度数えています。和集合35人との差24＋21−35＝10人が両方の希望者です。
2. 選択肢2：不正解 — 5人はどちらも希望しない人数です。両方を希望する人数とは違う集合なので、そのまま使えません。
3. 選択肢3：不正解 — 45はAとBの人数の和で、両方の希望者を含めて二重に数えた値です。重なりそのものではありません。
4. 選択肢4：不正解 — 24＋21−35は10です。和集合の人数と重複分の関係を式で確かめ、引き算を正確に行います。

次の段階へ渡す結果：少なくとも一方は35人、両方は10人。

正解：25人

本文の条件：A希望は24人、B希望は21人で、両方を希望してよい ／ どちらも希望しない人は5人

前段で「少なくとも一方」は35人、「両方」は10人と分かった。求めるのは両方を除いた部分なので35−10＝25人。別の確認方法では、Aだけ24−10＝14人、Bだけ21−10＝11人で、14＋11＝25人となる。

結果として確認すること：一方だけを希望する人は25人。

次に解くときは：少なくとも一方、両方、一方だけの三つを区別し、重複をどこで引くか確認する。

正解：4：PはQの十分条件だが、必要条件ではない。

本文の条件：nは6の倍数 ／ nは3の倍数

Pが成り立つとn＝6mと書け、6m＝3(2m)よりQも成り立つ。逆にn＝3ではQは真、Pは偽である。したがってPはQの十分条件だが必要条件ではない。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 必要十分条件には両方向の命題が必要です。QならばPにはn＝3という反例があるため、同値ではありません。
2. 選択肢2：不正解 — 必要条件ならQからPが導ける必要があります。しかし3は3の倍数でも6の倍数ではなく、逆向きは成立しません。
3. 選択肢3：不正解 — 6m＝3(2m)と書けるので、PからQへの命題は常に成立します。少なくとも十分条件にはなっています。
4. 選択肢4：正解 — 6の倍数は必ず3の倍数なのでPならばQです。一方n＝3はQを満たしてPを満たさず、逆向きは成立しません。

次の段階へ渡す結果：P⇒Qは真だが、Q⇒Pは偽。

正解：3：1≤k≤10で、kは奇数。

本文の条件：nは1以上30以下の整数 ／ nは6の倍数 ／ nは3の倍数

前段でQが真でもPが偽となりうると分かった。Qよりn＝3kと置く。1≤n≤30から1≤k≤10。さらに3kが6の倍数であることとkが偶数であることは同値なので、Pを偽にするにはkを奇数とする。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — kが偶数なら3kは6の倍数となり、Pも真になります。今回はPが成り立たない整数を求めています。
2. 選択肢2：不正解 — Pが偽かどうかを決めるのはkの偶奇です。kが3の倍数かどうかでは、6の倍数を除く条件になりません。
3. 選択肢3：正解 — n＝3kが6の倍数になるのはkが偶数のときです。それを除き、1≤3k≤30から得る範囲で奇数を選びます。
4. 選択肢4：不正解 — nの上限30をkの上限としてはいけません。n＝3kなので、1≤3k≤30を解いてk≤10とします。

次の段階へ渡す結果：n＝3k、kは1以上10以下の奇数。

正解：5個

本文の条件：nは1以上30以下の整数 ／ nは6の倍数 ／ nは3の倍数

前段よりkは1、3、5、7、9の5個。n＝3kとの対応は一対一なので、nは3、9、15、21、27の5個となる。いずれも3の倍数で、6では割り切れない。

結果として確認すること：条件を満たすnは5個。

次に解くときは：必要十分条件は命題の向きで判断し、反例の条件を別の整数変数へ置き換えて数える。

正解：2：17≤x≤23

本文の条件：20 ℃との差が3 ℃以下

20 ℃との差が3 ℃以下は|x−20|≤3と表せる。−3≤x−20≤3の各辺に20を加えると、17≤x≤23。境界でも差は3なので含める。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — −3から3までになるのは温度xではなく、20との差x−20です。基準温度20を戻す必要があります。
2. 選択肢2：正解 — 20との差が3以下は|x−20|≤3です。−3≤x−20≤3に20を足し、17≤x≤23を得ます。
3. 選択肢3：不正解 — 「以下」は差がちょうど3の場合も含みます。17℃と23℃を除く厳しい不等号にはなりません。
4. 選択肢4：不正解 — これは20から3以上離れた範囲です。指定された20の近くの温度範囲と、内側・外側が逆です。

次の段階へ渡す結果：装置の使用範囲は17≤x≤23。

正解：2：x＜17 または x＞19

本文の条件：18 ℃との差が1 ℃より大きい

前段の17≤x≤23とは別に、|x−18|＞1を解く。x−18＜−1またはx−18＞1より、x＜17またはx＞19。絶対値は左右両方向の距離を表すため、二つの範囲に分かれる。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — これは18との差が1より小さい内側の範囲です。比較試験では差を1より大きくするので、外側を選びます。
2. 選択肢2：正解 — |x−18|＞1はx−18＜−1またはx−18＞1です。18を足すと、x＜17またはx＞19となります。
3. 選択肢3：不正解 — 「1より大きい」には差がちょうど1の場合を含めません。17℃と19℃を含む不等号は条件に反します。
4. 選択肢4：不正解 — 18から上側へ離れる場合と下側へ離れる場合を考える必要があります。x＞17だけでは18℃も許してしまいます。

次の段階へ渡す結果：17≤x≤23と、x＜17またはx＞19を同時に満たす。

正解：4個

本文の条件：xは整数 ／ 20 ℃との差が3 ℃以下 ／ 18 ℃との差が1 ℃より大きい

前段の二条件の共通部分を取る。17≤x≤23の範囲ではx＜17は成り立たないので、19＜x≤23となる。xは整数だから20、21、22、23の4個。19では18との差が1となり除かれる。

結果として確認すること：利用できる設定温度は20、21、22、23 ℃の4個。

次に解くときは：絶対値を基準からの距離と捉え、内側・外側と端点を確認して共通範囲を取る。

正解：1：(1＋x/100)(1−x/100)

本文の条件：単価がx％上がり、個数が同じx％下がる

変更前の単価をp、個数をqとすると、売上額はpq。単価増加と個数減少より、変更後はp(1＋x/100)×q(1−x/100)。pqで割ると比は(1＋x/100)(1−x/100)となる。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：正解 — 単価と個数は、それぞれ変更前の1＋x/100倍と1−x/100倍です。売上額の倍率は、この二つを掛けます。
2. 選択肢2：不正解 — 個数は増えるのではなく減ります。二つとも1＋x/100倍とすると、個数についての条件を逆にしています。
3. 選択肢3：不正解 — 同じ割合の増減でも、別の量に作用するため倍率を足し引きしません。単価と個数の積として扱います。
4. 選択肢4：不正解 — 単価は下がるのではなく上がります。二つとも1−x/100倍とすると、単価についての条件を逆にしています。

次の段階へ渡す結果：売上額の比は(1＋x/100)(1−x/100)。

正解：2：1−x²/10000

本文の条件：単価がx％上がり、個数が同じx％下がる

前段の積を展開すると、1−x/100＋x/100−x²/10000＝1−x²/10000。一次の項は打ち消し合うが、二次の項は残る。したがって同じ百分率の増減が売上額を元通りにするとは限らない。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 和と差の積は1−u²です。uと−uの積は負になるので、二次の項の符号はマイナスです。
2. 選択肢2：正解 — (1＋u)(1−u)＝1−u²にu＝x/100を代入します。分母の100も2乗するので10000になります。
3. 選択肢3：不正解 — 展開すると一次の項は＋x/100と−x/100で打ち消し合います。残る減少分は一次ではなく二次の項です。
4. 選択肢4：不正解 — x/100全体を2乗するため、分母は100²＝10000です。分子だけを2乗することはできません。

次の段階へ渡す結果：売上額の比は1−x²/10000。

正解：20％

本文の条件：0＜x＜100 ／ 売上額は変更前の96％になる

前段の比と96％＝0.96を等しく置くと、1−x²/10000＝0.96。x²/10000＝0.04よりx²＝400で、x＝20または−20。0＜x＜100だからx＝20。確認すると1.2×0.8＝0.96となる。

結果として確認すること：単価の上昇率と個数の減少率は20％。

次に解くときは：異なる量の割合変化は倍率を掛け、和と差の積の二次項を見落とさない。

正解：4：f(x)＝(x−2)²−3

本文の条件：−1≤x≤4

x²−4x＋1＝(x²−4x＋4)−3＝(x−2)²−3。頂点のx座標は2で、−1≤2≤4だから、頂点は指定範囲内にある。上に開く放物線なので、この頂点を最小値の候補として使える。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — (x−2)²＋1を展開すると定数項は5です。平方を作る際に加わった4を調整できていません。
2. 選択肢2：不正解 — (x＋2)²では一次の項が＋4xになります。元の式の−4xと符号が一致していません。
3. 選択肢3：不正解 — (x−4)²−15を展開すると一次の項は−8xです。一次の係数の半分を使って平方を作ります。
4. 選択肢4：正解 — (x−2)²＝x²−4x＋4なので、元の定数項1に合わせるため3を引きます。頂点のx座標は2です。

次の段階へ渡す結果：f(x)＝(x−2)²−3。頂点x＝2は定義域内にある。

正解：1：両端でf(−1)＝6、f(4)＝1となり、最大値は6。

本文の条件：−1≤x≤4

前段のf(x)＝(x−2)²−3より、軸からの距離が大きいほど値も大きい。両端x＝−1、4を代入すると、f(−1)＝9−3＝6、f(4)＝4−3＝1。したがって指定範囲の最大値は6である。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：正解 — 軸x＝2から最も遠い端で最大になります。両端の値を比較すると、左端の6が右端の1より大きいと分かります。
2. 選択肢2：不正解 — 頂点では平方の項が0となり、上に開く放物線の最小値を取ります。最大値と最小値を逆にしています。
3. 選択肢3：不正解 — 定義域の長さはxの範囲についての量です。関数値の最大値は、式にxを代入して比較する必要があります。
4. 選択肢4：不正解 — 上に開く二次関数でも、定義域全体で増加しているとは限りません。左端の方が軸から遠いので、両端を確認します。

次の段階へ渡す結果：最大値は6。最小値は範囲内の頂点x＝2で調べる。

正解：9

本文の条件：−1≤x≤4 ／ 最大値から最小値を引いた値

前段で最大値は6と分かった。平方完成した式にx＝2を代入すると、最小値は0−3＝−3。求める最大値−最小値は6−(−3)＝9。最小値が負なので、6−3とはならない。

結果として確認すること：最大値と最小値の差は9。

次に解くときは：定義域内の頂点と両端を調べ、関数値の差では負の値の引き算にも注意する。

正解：2：(1, 2)

移動前の式を整理すると、y＝x²−2x＋1＋2＝(x−1)²＋2。平方が0になるx＝1で最小となるので、頂点は(1,2)。平行移動では、この頂点にも本文で指定した移動量を加える。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — (x−1)²が0になるのはx＝1です。括弧の符号をそのまま頂点の座標に付けてはいけません。
2. 選択肢2：正解 — x²−2x＋3＝(x−1)²＋2と平方完成できます。平方が0になるx＝1のとき、y＝2です。
3. 選択肢3：不正解 — 定数項3はx＝0での関数値です。頂点のy座標は、平方完成によって残る2になります。
4. 選択肢4：不正解 — 頂点のx座標とy座標を逆にしています。平方の中からx＝1、外の定数項からy＝2と読み取ります。

次の段階へ渡す結果：移動前はy＝(x−1)²＋2、頂点は(1,2)。

正解：4：g(x)＝(x−4)²

本文の条件：x軸の正の向きに3、y軸の負の向きに2だけ平行移動

前段の頂点(1,2)に、右へ3、下へ2の移動を適用する。新しい頂点は(1＋3,2−2)＝(4,0)。平行移動で二次の係数1は変わらないため、g(x)＝(x−4)²となる。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 下へ2の移動だけを反映しています。右へ3も動かすため、頂点のx座標は1から4に変わります。
2. 選択肢2：不正解 — 頂点を左へ3動かしたときの式です。今回はx軸の正の向き、つまり右へ3移動します。
3. 選択肢3：不正解 — y座標を下へ2ではなく上へ2動かしています。移動後の頂点のy座標は2−2＝0です。
4. 選択肢4：正解 — 頂点は右へ3、下へ2動いて(4,0)になります。二次の係数は変わらないので、g(x)＝(x−4)²です。

次の段階へ渡す結果：移動後はg(x)＝(x−4)²。

正解：9

本文の条件：移動後にx＝1となる点

前段のg(x)＝(x−4)²に、移動後のx座標1を代入する。g(1)＝(1−4)²＝(−3)²＝9。求めるのは移動前のx＝1の点を動かした先ではなく、移動後にx＝1を満たす点である。

結果として確認すること：移動後のx＝1の点のy座標は9。

次に解くときは：平行移動は頂点の座標で整理し、指定されたxが移動前か移動後かを確認する。

正解：3：R＝(500−20x)(40＋2x)

本文の条件：20円値下げするごとに、予測個数が2個増える

一回につき価格−20円、個数＋2個より、x回後は500−20x円と40＋2x個。したがってR＝(500−20x)(40＋2x)。展開するとR＝−40x²＋200x＋20000となる。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 元の売上に変化量の積だけを足しても、新しい売上にはなりません。元の量と変化量の交差する項も必要です。
2. 選択肢2：不正解 — 値下げで予測個数は増えるので、40−2xではありません。単価と個数の変化の向きは反対です。
3. 選択肢3：正解 — x回の値下げで価格は500−20x円、個数は40＋2x個です。売上額はその二つを掛け合わせます。
4. 選択肢4：不正解 — xは値下げ額そのものではなく回数です。一回20円の値下げなので、価格から引く額は20x円になります。

次の段階へ渡す結果：R＝−40x²＋200x＋20000。

正解：2：2と3

本文の条件：xは0以上15以下の整数

前段の式を平方完成すると、R＝−40(x−5/2)²＋20250。xは整数だから、実数での頂点5/2をそのまま使えない。2と3は頂点から等距離で最も近く、ともに0≤x≤15を満たす。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 5/2は頂点の座標ですが整数ではありません。値下げ回数は整数なので、近い整数を考える必要があります。
2. 選択肢2：正解 — 頂点のx座標は5/2＝2.5です。2と3はいずれもそこから0.5離れており、どちらも最も近い整数です。
3. 選択肢3：不正解 — 3だけでなく2も頂点から等しい距離にあります。切り上げた整数だけに限定することはできません。
4. 選択肢4：不正解 — 2だけでなく3も頂点からの距離が0.5です。「すべて」という指定なので、一方だけでは不十分です。

次の段階へ渡す結果：R＝−40(x−5/2)²＋20250。最も近い整数はx＝2と3。

正解：20240円

本文の条件：20円値下げするごとに、予測個数が2個増える ／ xは0以上15以下の整数

前段より頂点に最も近い整数は2と3。R(2)＝460×44＝20240、R(3)＝440×46＝20240となる。下に開く放物線で、ほかの整数は頂点からさらに遠いため、これより大きくならない。したがって最大値は20240円で、x＝2、3の両方が実現する。

結果として確認すること：最大売上額は20240円。値下げ回数2回と3回が同率で最適。

次に解くときは：整数条件がある最大化では、実数の頂点に近い整数をすべて確認し、同率の解を残す。

正解：3：4a＋b＝7、a＋b＝1

本文の条件：軸が直線x＝3 ／ 点(1,7)と点(2,1)を通る

軸がx＝3なので、f(x)＝a(x−3)²＋bと表せる。f(1)＝7、f(2)＝1を代入すると、4a＋b＝7、a＋b＝1となる。軸からの距離の2乗が、係数4と1を生む。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — xの値をそのままaに掛ける式ではありません。(x−3)全体を2乗してからaを掛ける必要があります。
2. 選択肢2：不正解 — 二点を代入したときの平方の値4と1が逆です。軸x＝3から各点までの距離を確かめます。
3. 選択肢3：正解 — x＝1では(1−3)²＝4、x＝2では(2−3)²＝1です。それぞれのy座標7と1を右辺に置きます。
4. 選択肢4：不正解 — 右辺にはx座標ではなくy座標を使います。点(1,7)はf(1)＝7、点(2,1)はf(2)＝1を意味します。

次の段階へ渡す結果：4a＋b＝7、a＋b＝1。

正解：3：a＝2、b＝−1

本文の条件：軸が直線x＝3 ／ 点(1,7)と点(2,1)を通る

前段の二式の差を取ると、(4a＋b)−(a＋b)＝7−1、すなわち3a＝6。よってa＝2。a＋b＝1よりb＝−1となり、f(x)＝2(x−3)²−1である。a≠0の条件も満たす。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 二式の差は4a−a＝3a、7−1＝6です。符号を逆にしたa＝−2では、両方の点を通りません。
2. 選択肢2：不正解 — 3a＝6をa＝6と読み違えています。両辺を3で割ってからbを求める必要があります。
3. 選択肢3：正解 — 二式を引いて3a＝6となるのでa＝2です。a＋b＝1に代入し、b＝−1を得ます。
4. 選択肢4：不正解 — a＋b＝1にa＝2を代入するとb＝−1です。右辺1を、そのままbの値として使ってはいけません。

次の段階へ渡す結果：f(x)＝2(x−3)²−1。

正解：17

本文の条件：軸が直線x＝3 ／ 点(1,7)と点(2,1)を通る

前段の式にx＝6を代入すると、f(6)＝2(6−3)²−1＝2×9−1＝17。軸x＝3からの距離は3なので、その2乗を使う。確認するとf(1)＝2×4−1＝7、f(2)＝2×1−1＝1で、指定された二点にも一致する。

結果として確認すること：f(6)＝17。

次に解くときは：軸が分かる放物線は頂点形式に置き、軸からの距離の2乗を代入して係数を決める。

正解：4：t²−8t＋12≤0

本文の条件：h＝−t²＋8t＋1 ／ 高さが13 m以上

h＝−t²＋8t＋1に対し、h≥13を課す。−t²＋8t−12≥0の両辺を−1倍すると、t²−8t＋12≤0。不等号の向きも同時に変える。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — −1を掛けると不等号は逆転します。元の≥をそのまま残した式では、高さ13m以下の側を選んでしまいます。
2. 選択肢2：不正解 — 元の＋8tも−1倍により−8tになります。二次の項だけ符号を変えてはいけません。
3. 選択肢3：不正解 — 13を左辺へ移すと1−13＝−12です。その後に−1倍するので、定数項は＋12になります。
4. 選択肢4：正解 — −t²＋8t＋1≥13から−t²＋8t−12≥0とし、−1倍すると不等号が逆向きになります。

次の段階へ渡す結果：t²−8t＋12≤0を、0≤t≤8で解く。

正解：3：(t−2)(t−6)

本文の条件：高さが13 m以上

前段の式について、(t−2)(t−6)＝t²−6t−2t＋12＝t²−8t＋12。したがって不等式は(t−2)(t−6)≤0となる。左辺が0になる境界はt＝2とt＝6である。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 展開するとt²＋4t−12です。一次の係数も定数項も、前段の二次式と一致しません。
2. 選択肢2：不正解 — この積を展開すると一次の項が＋8tになります。必要な−8tとは符号が異なります。
3. 選択肢3：正解 — 積が12で和が−8となる数は−2と−6です。展開するとt²−8t＋12に戻ります。
4. 選択肢4：不正解 — 定数項12は一致しますが、一次の係数は−3−4＝−7です。積だけでなく和も一致させます。

次の段階へ渡す結果：(t−2)(t−6)≤0。境界は2秒と6秒。

正解：4秒

本文の条件：0≤t≤8 ／ 高さが13 m以上

前段の積は、2≤t≤6で0以下となる。これは0≤t≤8の中に収まるので、求める時間帯は2秒後から6秒後まで。長さは6−2＝4秒。tは実数なので、2、3、4、5、6の五つを数える問題ではない。

結果として確認すること：13 m以上の時間帯は2≤t≤6で、長さは4秒。

次に解くときは：二次不等式の解を時間帯として読み、整数の個数と経過時間の長さを区別する。

正解：3：x²−6x＋3−k＝0

本文の条件：y＝x²−4x＋3 ／ y＝2x＋k

共有点では同じxに対するy座標が一致するため、x²−4x＋3＝2x＋kと置く。移項するとx²−4x−2x＋3−k＝0、すなわちx²−6x＋3−k＝0。実数解一つにつき、共有点のy座標も一つに定まる。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 右辺の2xを左辺へ移すと−2xになります。−4x＋2xではなく、−4x−2x＝−6xと計算します。
2. 選択肢2：不正解 — これは放物線とx軸の共有点を求める式です。今回は直線の高さ2x＋kと等しい条件を使う必要があります。
3. 選択肢3：正解 — 共有点では二つのyの値が等しいので、x²−4x＋3＝2x＋kです。右辺を移項すると、この方程式になります。
4. 選択肢4：不正解 — 右辺のkを左辺へ移項するので符号は−kです。＋kのままでは、共有点の条件と一致しません。

次の段階へ渡す結果：共有点のx座標はx²−6x＋3−k＝0の実数解。

正解：4：D＝0

本文の条件：ただ一つの共有点を持つ

前段の二次方程式にはxの範囲の制限がない。実数解がただ一つとなる条件はD＝0である。判別式を計算するとD＝(−6)²−4×1×(3−k)＝36−12＋4k＝24＋4k。この値を0にする。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 判別式が0以上では共有点が一つの場合と二つの場合を両方含みます。一つに限るには等号だけを選びます。
2. 選択肢2：不正解 — 判別式が負なら実数解はなく、二つのグラフは共有点を持ちません。一つの共有点を表す条件ではありません。
3. 選択肢3：不正解 — 判別式が正なら異なる二つの実数解があり、共有点も二つになります。「ただ一つ」という条件に合いません。
4. 選択肢4：正解 — ただ一つの実数解を持つのは重解のときで、判別式は0です。重解は同じ点を表すので、共有点は一つです。

次の段階へ渡す結果：判別式D＝24＋4kが0となる条件を使う。

正解：−6

本文の条件：y＝x²−4x＋3 ／ y＝2x＋k ／ ただ一つの共有点を持つ

前段の24＋4k＝0を解くと4k＝−24よりk＝−6。元の方程式はx²−6x＋9＝(x−3)²＝0となり、実数解はx＝3だけである。このとき放物線の値は9−12＋3＝0、直線の値も2×3−6＝0なので、共有点は(3,0)の一つに確定する。

結果として確認すること：k＝−6のとき、共有点は(3,0)の一つ。

次に解くときは：二つのグラフの共有点は関数値を等しくして求め、個数の条件を二次方程式の判別式へ対応させる。

正解：3：y＝24−2x

本文の条件：壁側には柵を付けず、残る三辺に合計24 mの柵をすべて使う ／ x＞0、y＞0

柵を使う三辺はx、x、yなので、2x＋y＝24。よってy＝24−2x。さらにx＞0、y＞0より、x＞0かつ24−2x＞0、すなわち0＜x＜12となる。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 垂直な辺を一本しか数えていません。長方形の左右の二辺に、それぞれx mの柵が必要です。
2. 選択肢2：不正解 — x＋2y＝24とした場合の式です。二本あるのは壁に垂直なxの辺であり、xとyの役割が逆です。
3. 選択肢3：正解 — 壁に垂直な二辺にx mずつ、残る一辺にy m使うので2x＋y＝24です。これをyについて解きます。
4. 選択肢4：不正解 — 2x＋2y＝24とした場合の式です。今回は壁側の一辺には柵を使わないため、yを二本分は数えません。

次の段階へ渡す結果：y＝24−2x、0＜x＜12。

正解：2：S＝−2x²＋24x

本文の条件：壁側には柵を付けず、残る三辺に合計24 mの柵をすべて使う ／ x＞0、y＞0

前段よりy＝24−2x。長方形の面積はS＝xyだから、S＝x(24−2x)＝−2x²＋24x。使える範囲は前段の0＜x＜12で、区画がつぶれるx＝0、12は含まない。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — x(24−2x)を展開すると、24にもxを掛けます。24xを24にしてしまうと面積の式ではなくなります。
2. 選択肢2：正解 — 面積はxyです。y＝24−2xを代入するとS＝x(24−2x)＝−2x²＋24xとなります。
3. 選択肢3：不正解 — yに24−xを代入した形です。垂直な二辺分を引く必要があるので、二次の係数は−2になります。
4. 選択肢4：不正解 — 辺の長さを足しており、柵の総延長24を求めています。長方形の面積は二辺の長さの積です。

次の段階へ渡す結果：S＝−2x²＋24x、0＜x＜12。

正解：72 m²

本文の条件：壁側には柵を付けず、残る三辺に合計24 mの柵をすべて使う ／ x＞0、y＞0

前段の式を平方完成すると、S＝−2(x²−12x)＝−2(x−6)²＋72。0＜6＜12なので頂点x＝6を使え、最大値は72 m²。y＝24−2×6＝12も正で、柵は6＋6＋12＝24 mとなり条件を満たす。

結果として確認すること：面積の最大値は72 m²で、x＝6 m、y＝12 mのときに実現する。

次に解くときは：図形の文章題は実際に資材を使う辺を数え、長さを消去してから面積の二次式を最大化する。

正解：1：0<t<2では頂点が定義域に含まれず、最大値は右端x=tでとる。

本文の条件：f(x)=−(x−2)²+5 ／ 0≤x≤tにおけるf(x)の最大値

頂点は(2,5)で、グラフは上に凸である。0<t<2ならx=2は定義域外なので、増加している区間の右端x=tを使う。t≥2なら頂点を含むため、x=2で最大値5をとる。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：正解 — 正しい。グラフはx=2まで増加する。右端tが2より小さい場合は、使える範囲の最も右で最大となる。
2. 選択肢2：不正解 — 誤り。頂点を含む範囲ではf(2)=5が最大である。頂点より右へ範囲を延ばしても最大値は増えない。
3. 選択肢3：不正解 — 誤り。f(0)=1だが、t>0なら定義域に0より右の点がある。頂点に近づく側では値が増加する。
4. 選択肢4：不正解 — 誤り。頂点の値を最大値にできるのは、頂点が指定された範囲に含まれる場合に限られる。

次の段階へ渡す結果：0<t<2ではx=tで最大、t≥2ではx=2で最大となる。

正解：3：0<t<2ではM(t)=−t²+4t+1、t≥2ではM(t)=5。

本文の条件：0≤x≤tにおけるf(x)の最大値

前段階より、0<t<2ではM(t)=f(t)=−(t−2)²+5=−t²+4t+1である。t≥2ではM(t)=f(2)=5となる。右端を動かした後も、頂点を含むかどうかで式を選ぶ必要がある。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 誤り。頂点を使う条件が逆である。右端tが2以上になって初めて、x=2を定義域に含む。
2. 選択肢2：不正解 — 誤り。−(t−2)²+5=−t²+4t−4+5なので、定数項は−1ではなく1になる。
3. 選択肢3：正解 — 正しい。頂点を含まない場合はf(t)を展開し、頂点を含む場合はf(2)を使って場合を分ける。
4. 選択肢4：不正解 — 誤り。t>2でも右端の値を使っている。右端での値が下がっても、範囲内には最大となる頂点が残る。

次の段階へ渡す結果：M(t)=−t²+4t+1（0<t<2）、M(t)=5（t≥2）。

正解：t=1

本文の条件：0≤x≤tにおけるf(x)の最大値

t≥2ではM(t)=5なので条件を満たさない。0<t<2の式で−t²+4t+1=4を解くと、t²−4t+3=0、(t−1)(t−3)=0である。候補は1と3だが、式を使った条件0<t<2に合うのはt=1だけである。

結果として確認すること：方程式の解1、3のうち、場合分けの条件に合うt=1を残す。

次に解くときは：頂点の値を使う前に定義域を確認し、方程式を解いた後も場合分けの条件へ戻す。

正解：4：x=3。

本文の条件：f(1)=2、f(3)=10、f(5)=2

f(1)=f(5)なので、軸は二つのx座標の中点を通る。したがって軸はx=(1+5)/2=3である。さらにf(3)=10より、頂点は(3,10)となる。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 誤り。y=f(x)という二次関数のグラフの軸は縦の直線である。y=2は同じ値の二点を通る横の直線である。
2. 選択肢2：不正解 — 誤り。二点のx座標の差5−1=4は間隔であり、対称軸の位置ではない。平均を取る必要がある。
3. 選択肢3：不正解 — 誤り。同じ関数の値2を、そのまま軸のx座標と取り違えている。軸は同じ高さの二点の中間にある。
4. 選択肢4：正解 — 正しい。異なる二点x=1とx=5で関数の値が同じなので、軸はその中点x=(1+5)/2=3である。

次の段階へ渡す結果：軸はx=3、頂点は(3,10)。

正解：2：f(x)=−2(x−3)²+10。

本文の条件：f(1)=2、f(3)=10、f(5)=2

頂点の形からf(x)=a(x−3)²+10と置く。f(1)=2より、4a+10=2なのでa=−2である。よってf(x)=−2(x−3)²+10と復元できる。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 誤り。x=1を代入すると18となり、表の値2と一致しない。中央の値が大きいこととも合わない。
2. 選択肢2：正解 — 正しい。f(x)=a(x−3)²+10にf(1)=2を入れると4a+10=2となり、a=−2が決まる。
3. 選択肢3：不正解 — 誤り。10から2への差−8を、そのまま係数にしている。軸からの距離2の二乗4で割る必要がある。
4. 選択肢4：不正解 — 誤り。頂点を(1,2)としているが、前段階で得た頂点は(3,10)である。表の中央の値も満たさない。

次の段階へ渡す結果：f(x)=−2(x−3)²+10。

正解：最大値−最小値=16

本文の条件：4≤x≤6という新しい定義域

前段階の式は頂点x=3より右で減少する。4≤x≤6は全体が頂点より右なので、最大値はf(4)=−2+10=8、最小値はf(6)=−18+10=−8である。求める差は8−(−8)=16となる。表の最大の値10は、新しい範囲には含まれない頂点での値である。

結果として確認すること：新しい区間では最大値8、最小値−8で、差は16。

次に解くときは：表の対称な値から軸を復元し、元の表の最大値を変更後の定義域へそのまま持ち込まない。

正解：4：H(x)≤4であり、等号が成り立つのはf(x)=g(x)のときである。

本文の条件：f(x)=(x−2)²+1、g(x)=7−(x−2)²

f(x)+g(x)=8である。小さい方H(x)は二つの平均8/2=4以下で、H(x)=4となるのはf(x)=g(x)=4のときである。上限4を実際にとれるかは、定義域内にそのようなxがあるかで判断する。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 誤り。片方が0ならもう片方は8で、小さい方は0になる。平均4と一致するためには両方が4でなければならない。
2. 選択肢2：不正解 — 誤り。和が8でも、それぞれの値は変わる。例えばx=2ではf(2)=1、g(2)=7となり、H(2)=1である。
3. 選択肢3：不正解 — 誤り。平均以上になるのは二つの値の大きい方である。Hは小さい方と定義されているので、不等号が逆になる。
4. 選択肢4：正解 — 正しい。二つの値の和は常に8で、小さい方は平均4以下になる。平均と同じになるのは二つの値が等しい場合である。

次の段階へ渡す結果：H(x)≤4。上限4をとる条件はf(x)=g(x)である。

正解：1：x=2−√3とx=2+√3の二つで、どちらも定義域に含まれる。

本文の条件：0≤x≤4

f(x)=g(x)は(x−2)²+1=7−(x−2)²だから、2(x−2)²=6、(x−2)²=3となる。x=2±√3であり、両方が0≤x≤4に入る。したがって元の定義域ではHの上限4が実現する。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：正解 — 正しい。f=gを整理すると(x−2)²=3となる。√3<2なので、二つの解はどちらも0から4の間にある。
2. 選択肢2：不正解 — 誤り。(x−2)²=3からx−2=±√3となるので、2を足し戻す必要がある。また−√3は指定範囲にも入らない。
3. 選択肢3：不正解 — 誤り。0<2−√3<2<2+√3<4である。根号を含むという理由だけで範囲外にはできない。
4. 選択肢4：不正解 — 誤り。軸の位置x=2ではf=1、g=7で、二つの値は等しくない。各放物線の頂点と、二つの交点を区別する。

次の段階へ渡す結果：元の定義域でH=4となるのはx=2±√3。区間を変更すると、この二点を使えるか再確認する。

正解：H(x)の最大値=2

本文の条件：定義域を1≤x≤3へ変更

1≤x≤3より0≤(x−2)²≤1である。したがって1≤f(x)≤2、6≤g(x)≤7となり、この範囲では常にH(x)=f(x)である。f(1)=f(3)=2なので最大値は2。前段階の二つの交点は新しい区間の外にあり、以前の最大値4は使えない。

結果として確認すること：区間を狭めるとH=fとなり、両端x=1、3で最大値2をとる。

次に解くときは：二つの値を比べる問題では、大小関係の切替点と、その点が変更後の区間に入るかを確認する。

正解：3：DはABをAの側へ延長した部分にあり、AD=2 cmである。

本文の条件：AB=6 cm、AC=4 cm ／ ∠BAC=120°

∠BAC=120°なので、DはAからBと反対の方向にある。したがって∠CAD=180°−120°=60°であり、AD=4 cos60°=2 cmとなる。鈍角のときは、垂足が線分の外へ出ることを先に確認する。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 誤り。4 cmは直角三角形ACDの斜辺ACの長さである。隣辺ADはAC cos60°なので、斜辺の長さをそのまま使えない。
2. 選択肢2：不正解 — 誤り。Bの外側にDがあっても、半直線ADは半直線ABと同じ向きになる。垂足は角120°の反対側、Aの外側にある。
3. 選択肢3：正解 — 正しい。Aの角は鈍角なので垂足はAの外側に出る。∠CAD=60°より、AD=AC cos60°=2 cmである。
4. 選択肢4：不正解 — 誤り。線分ABの内部にDがあると∠CAD=120°となるが、直角三角形ACDの残る角が鈍角になることはない。

次の段階へ渡す結果：DはAの外側にあり、AD=2 cm。三角形ACDはDを直角とする直角三角形である。

正解：3：CD²=12 cm²

本文の条件：点Cから直線ABに下ろした垂線の足をD

CD⊥ABより、ACDは直角三角形である。AC=4 cm、前段階のAD=2 cmを使うと、CD²=AC²−AD²=4²−2²=12 cm²となる。面積の二乗を求めるなら、このまま高さの二乗を利用できる。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 誤り。AC−AD=4−2=2と長さを引いても、CDの二乗は求まらない。三平方の定理では長さの二乗を引く。
2. 選択肢2：不正解 — 誤り。4 cm²はAD²である。ADとCDが等しい条件はなく、角60°をもつこの三角形は直角二等辺三角形ではない。
3. 選択肢3：正解 — 正しい。直角三角形ACDではACが斜辺なので、CD²=AC²−AD²=16−4=12 cm²である。
4. 選択肢4：不正解 — 誤り。16+4は、ACとADの両方を直角を挟む辺として扱った計算になる。この図では長いACが斜辺である。

次の段階へ渡す結果：高さの二乗はCD²=12 cm²である。

正解：S²=108

本文の条件：AB=6 cm、AC=4 cm ／ 点Cから直線ABに下ろした垂線の足をD

底辺ABと高さCDは、垂足Dが線分ABの外にあっても面積に使える。S=(1/2)×6×CD=3CDなので、S²=9CD²=9×12=108である。高さを根号で表す必要はない。

結果として確認すること：S²=108。鈍角でも、底辺を含む直線への垂直距離を高さに使う。

次に解くときは：鈍角の三角形では垂足の位置を確かめ、線分の外に下ろした高さも面積の公式に使う。

正解：3：cos∠BAC=(5²+7²−8²)/(2×5×7)

本文の条件：AB=5 cm、AC=7 cm、BC=8 cm

余弦定理より、8²=5²+7²−2×5×7×cos∠BACである。したがってcos∠BAC=(25+49−64)/70=10/70=1/7。最初に「求める角の向かいの辺」を対応させる。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 誤り。余弦定理で移項した後の符号が逆である。角Aの向かいの辺BCの二乗を、残る二辺の二乗の和から引く。
2. 選択肢2：不正解 — 誤り。この式が求めるのはABとBCに挟まれた角Bの余弦である。求めたい角Aの向かいの辺は8 cmのBCである。
3. 選択肢3：正解 — 正しい。角Aを挟む辺はABとAC、向かい合う辺はBCである。余弦定理をcos∠BACについて解いた形になっている。
4. 選択肢4：不正解 — 誤り。余弦定理の交差項は2×AB×AC×cos∠BACであり、分母の2を省くことはできない。

次の段階へ渡す結果：cos∠BAC=1/7。

正解：3：48/49

本文の条件：外接円の半径をR cm

前段階のcos∠BAC=1/7を相互関係に代入すると、sin²∠BAC=1−cos²∠BAC=1−1/49=48/49となる。次に外接円の半径Rを結び付けるには、正弦定理を使う。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 誤り。1+(1/7)²と足している。正弦の二乗は0以上1以下なので、50/49という値も条件に合わない。
2. 選択肢2：不正解 — 誤り。1/49はcos²∠BACである。求める正弦の二乗は、それを1から引いた値になる。
3. 選択肢3：正解 — 正しい。sin²θ+cos²θ=1より、sin²∠BAC=1−(1/7)²=48/49である。
4. 選択肢4：不正解 — 誤り。1−1/7は、余弦を二乗せずに引いた値である。三角比の相互関係にはcos²θを代入する。

次の段階へ渡す結果：sin²∠BAC=48/49。角Aの向かいの辺はBC=8 cmである。

正解：R²=49/3

本文の条件：AB=5 cm、AC=7 cm、BC=8 cm ／ 外接円の半径をR cm

正弦定理はBC/sin∠BAC=2Rである。両辺を二乗すると64/(48/49)=4R²となるから、R²=64×49/(4×48)=49/3。正弦定理の右辺は半径そのものではなく直径2Rであることに注意する。

結果として確認すること：R²=49/3。三辺から余弦、正弦の二乗、外接円の半径へつなげた。

次に解くときは：三辺から余弦定理で角の情報を得た後、正弦定理の「2R」に結び付ける。

正解：1：4/5

本文の条件：BC=5 cm、CA=8 cm ／ ∠BAC=30°

角Aの向かいの辺はBC=5 cm、角Bの向かいの辺はCA=8 cmである。正弦定理より5/sin30°=8/sin∠ABCとなり、sin30°=1/2を用いるとsin∠ABC=4/5である。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：正解 — 正しい。正弦定理からsin∠ABC/8=sin30°/5であり、sin∠ABC=8×(1/2)/5=4/5となる。
2. 選択肢2：不正解 — 誤り。5×sin30°/8と、対応する辺の比を逆にしている。角Bの向かいは8 cmの辺CAである。
3. 選択肢3：不正解 — 誤り。正しい値4/5の逆数である。三角形の内角の正弦は1以下なので、5/4はその範囲にも反する。
4. 選択肢4：不正解 — 誤り。5/8は二辺の比だけである。この三角形が直角三角形という条件はないため、辺の比をそのまま正弦にできない。

次の段階へ渡す結果：sin∠ABC=4/5。

正解：2：−3/5

本文の条件：∠ABCは鈍角

cos²∠ABC=1−(4/5)²=9/25なので、cos∠ABC=±3/5が候補となる。90°<∠ABC<180°では余弦が負であるため、cos∠ABC=−3/5に決まる。正弦の値だけでは決まらなかった符号を、角の条件が決めている。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 誤り。二乗を戻した際の符号が違う。3/5は角Bが鋭角の場合に対応し、今回は鈍角という条件に合わない。
2. 選択肢2：正解 — 正しい。cos²∠ABC=1−16/25=9/25である。鈍角の余弦は負なので、cos∠ABC=−3/5となる。
3. 選択肢3：不正解 — 誤り。1−4/5を計算して符号を付けても余弦にはならない。相互関係では正弦を二乗してから1より引く。
4. 選択肢4：不正解 — 誤り。鈍角だから正弦の符号を変えれば余弦になるわけではない。余弦の絶対値は相互関係から別に求める。

次の段階へ渡す結果：cos∠ABC=−3/5。

正解：(c+3)²=48

本文の条件：BC=5 cm、CA=8 cm ／ ∠ABCは鈍角

角Bを挟む辺はAB=c cmとBC=5 cm、その向かいの辺はCA=8 cmである。cos∠ABC=−3/5を代入すると、8²=c²+5²−2×c×5×(−3/5)=c²+25+6c。よってc²+6c=39となり、両辺に9を加えて(c+3)²=48を得る。

結果として確認すること：(c+3)²=48。鈍角の余弦が負なので、余弦定理の交差項は正になった。

次に解くときは：正弦から余弦を求めるときは二乗だけで終わらず、鋭角・鈍角の条件で符号を決める。

正解：3：8 cm

本文の条件：三角形ABCと三角形PQRは同じ円に内接 ／ ∠BAC=30°、BC=4 cm

正弦定理にBC=4 cm、∠BAC=30°を代入すると、2r=4/sin30°=4/(1/2)=8 cmである。同じ円という条件により、この2rを三角形PQRの正弦定理にも使える。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 誤り。4×sin30°と掛けている。正弦定理で直径を求めるには、向かい合う辺の長さを正弦で割る。
2. 選択肢2：不正解 — 誤り。4 cmは辺BCの長さであり、この場合は円の半径でもある。問われているのは直径2rなので、その2倍になる。
3. 選択肢3：正解 — 正しい。正弦定理より2r=BC/sin∠BAC=4/(1/2)=8 cmとなる。同じ円に内接するため、三角形PQRにもこの直径を使える。
4. 選択肢4：不正解 — 誤り。4/sin30°で得られる8 cmがすでに直径である。それをさらに2倍すると、半径と直径を取り違える。

次の段階へ渡す結果：共通する外接円の直径は2r=8 cm。

正解：4：PQ=4 cm、QR=4√3 cm

本文の条件：∠QPR=60°、∠PQR=90°

角P=60°、角Q=90°より、角R=180°−60°−90°=30°。前段階の2r=8 cmを使うと、PQ=8 sin30°=4 cm、QR=8 sin60°=4√3 cmとなる。面積に使える直角を挟む二辺がそろった。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 誤り。二辺とその向かいの角を逆にしている。大きい角60°の向かいのQRが、角30°の向かいのPQより長くなる。
2. 選択肢2：不正解 — 誤り。正弦定理の辺の長さは2r sinθである。半径r=4 cmに正弦を掛けると、どちらの辺も正しい長さの半分になる。
3. 選択肢3：不正解 — 誤り。8 cmは直角の向かいの斜辺PRの長さである。PQは角R=30°に対する辺なので、直径にsin30°を掛ける。
4. 選択肢4：正解 — 正しい。残る角Rは30°。PQは角Rの向かいなので8 sin30°=4 cm、QRは角Pの向かいなので8 sin60°=4√3 cmとなる。

次の段階へ渡す結果：PQ=4 cm、QR=4√3 cmであり、∠PQR=90°。

正解：S²=192

本文の条件：三角形ABCと三角形PQRは同じ円に内接 ／ ∠QPR=60°、∠PQR=90°

PQ⊥QRなので、S=(1/2)×PQ×QR=(1/2)×4×4√3=8√3となる。したがってS²=(8√3)²=64×3=192。二つの三角形は形や大きさが同じとは限らないが、共通の外接円の直径を介して必要な辺を求められる。

結果として確認すること：S²=192。同じ円の直径を、別の内接三角形へ引き継いで使った。

次に解くときは：同じ円に内接する三角形では、形が異なっても正弦定理の2rが共通になる。

正解：3：h=x tan60°=(x+10) tan30°

本文の条件：地面上のH、Q、Pはこの順に一直線上に並び、QP=10 m ／ 測定点は地面上のP、Qそのもの

HP=HQ+QP=x+10 mである。塔は地面に垂直で、測定点は地面上なので、両方の直角三角形で高さはh mとなる。tan60°=h/x、tan30°=h/(x+10)より、h=x tan60°=(x+10) tan30°と表せる。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 誤り。測定点と角度の対応が逆である。塔に近いQの仰角が60°、遠いPの仰角が30°と指定されている。
2. 選択肢2：不正解 — 誤り。tanθ=h/水平距離をhについて解けば、水平距離にtanθを掛ける。割る式では高さと水平距離を取り違える。
3. 選択肢3：正解 — 正しい。Qから塔の足元までがx m、Pからはx+10 mである。正接は高さを水平距離で割った比なので、各距離に正接を掛ける。
4. 選択肢4：不正解 — 誤り。H、Q、Pの順なのでHP=HQ+QP=x+10 mである。10−xとするのは点の並びを違えて読んでいる。

次の段階へ渡す結果：同じ高さhについて、h=x tan60°=(x+10) tan30°。

正解：3：5

本文の条件：∠HPT=30°、∠HQT=60°

tan60°=√3、tan30°=1/√3を前段階の関係へ代入すると、√3x=(x+10)/√3となる。両辺を√3倍して3x=x+10、2x=10よりx=5。二つの式が表す高さを同じにすることで、測れなかった水平距離を求めた。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 誤り。10は測定点間QPの長さである。HQとQPが等しい条件はなく、二つの正接から立てた式を解く必要がある。
2. 選択肢2：不正解 — 誤り。xを求める途中で正接の係数√3を残している。3x=x+10となるため、求める水平距離xは根号を含まない。
3. 選択肢3：正解 — 正しい。√3x=(x+10)/√3の両辺に√3を掛けると3x=x+10となり、2x=10からx=5を得る。
4. 選択肢4：不正解 — 誤り。QP=10にtan60°を掛けてもHQは求まらない。角60°に対応する水平距離はQPではなく、未知のHQである。

次の段階へ渡す結果：塔の足元までの水平距離はHQ=x=5 m。

正解：h²=75

本文の条件：地面上のH、Q、Pはこの順に一直線上に並び、QP=10 m ／ ∠HPT=30°、∠HQT=60°

Qからの測定を使うと、h=x tan60°=5√3である。よってh²=25×3=75。Pからでも、HP=5+10=15 mよりh=15 tan30°=15/√3=5√3となり、同じ高さになる。

結果として確認すること：h²=75。近い地点と遠い地点のどちらを使っても同じ高さになる。

次に解くときは：測量では点の順序から水平距離を表し、異なる観測点から得た同じ高さの式を等しくおく。

正解：1：AD=h m、BD=√3h m

本文の条件：点Cから直線ABに下ろした垂線の足Dは、線分ABの内部にある ／ ∠CAB=45°、∠CBA=30°

Dは線分AB内の垂足なので、∠CAD=45°、∠CBD=30°である。tan45°=h/AD、tan30°=h/BDより、AD=h m、BD=√3h mとなる。測りたい高さが共通でも、二つの水平距離は同じではない。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：正解 — 正しい。tan45°=h/AD=1なのでAD=h m。tan30°=h/BD=1/√3なのでBD=√3h mである。
2. 選択肢2：不正解 — 誤り。A側が45°、B側が30°である。同じ高さに対して角が小さいB側の水平距離BDの方が長くなる。
3. 選択肢3：不正解 — 誤り。√2hと2hは、それぞれ直角三角形ACD、BCDの斜辺AC、BCの長さである。ここでは水平距離AD、BDを求める。
4. 選択肢4：不正解 — 誤り。BDを求めるときはhをtan30°で割る。hにtan30°を掛けると、正接の分子と分母の対応が逆になる。

次の段階へ渡す結果：AD=h m、BD=√3h m。

正解：2：h=12/(1+√3)

本文の条件：AB=12 m ／ 点Cから直線ABに下ろした垂線の足Dは、線分ABの内部にある

AB=12 mであり、Dが線分AB内にあるからAD+BD=ABである。前段階の式を代入してh+√3h=12、(1+√3)h=12となり、h=12/(1+√3)を得る。点の位置が変われば和か差かも変わるため、垂足の位置は式を立てる条件になる。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 誤り。12√3/(1+√3)はBD=√3hの値になる。求めたいCDの長さhとは、水平距離と高さが異なる。
2. 選択肢2：正解 — 正しい。DがAとBの間にあるのでAD+BD=12となる。h+√3h=12をhについて解いた式である。
3. 選択肢3：不正解 — 誤り。分母の√3−1はBD−AD=12とした場合に現れる。今回は二つの距離の差ではなく和がABの長さになる。
4. 選択肢4：不正解 — 誤り。6はABを二等分した長さである。DがABの中点とは指定されておらず、角45°と30°が異なるためADとBDも異なる。

次の段階へ渡す結果：幅を表す数はh=12/(1+√3)。

正解：k=6

本文の条件：AB=12 m

分母の有理化により、h=12(√3−1)/{(1+√3)(√3−1)}=12(√3−1)/(3−1)=6(√3−1)となる。したがってk=6。AD+BD=12という条件から得た式を保ったまま、等しい値へ変形している。

結果として確認すること：h=6(√3−1) mなので、求める係数kは6。

次に解くときは：同じ高さをもつ二つの直角三角形では、正接で水平距離を表し、垂足の位置に応じて和か差を使う。

正解：4：1/2

本文の条件：AB=10 cm、AC=8 cm、BC=2√21 cm

角Aの向かいの辺はBCであり、BC²=(2√21)²=84である。余弦定理よりcos∠BAC=(10²+8²−84)/(2×10×8)=80/160=1/2となる。ここで得た角の情報は、次の小さい三角形にも使える。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 誤り。BCの二乗を2×21=42としてしまうと(100+64−42)/160=61/80になる。(2√21)²では係数2も二乗し、84とする。
2. 選択肢2：不正解 — 誤り。分子をBC²−AB²−AC²とすると符号が逆になる。求める角を挟む二辺の二乗の和から、対辺の二乗を引く。
3. 選択肢3：不正解 — 誤り。余弦定理の分母の2を省くと80/(10×8)=1になる。分母は、角を挟む二辺の積の2倍である。
4. 選択肢4：正解 — 正しい。余弦定理よりcos∠BAC=(100+64−84)/(2×10×8)=80/160=1/2となる。

次の段階へ渡す結果：cos∠BAC=1/2。

正解：1：CM²=8²+5²−2×8×5×(1/2)

本文の条件：点Mは線分ABの中点

AM=AB/2=5 cmであり、Mは線分AB上にあるため∠CAM=∠CABである。三角形ACMに余弦定理を適用すると、CM²=AC²+AM²−2×AC×AM×cos∠CAM=8²+5²−2×8×5×(1/2)となる。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：正解 — 正しい。MはABの中点なのでAM=5 cmであり、半直線AMとABが重なるので∠CAM=∠CABである。三角形ACMに余弦定理を使っている。
2. 選択肢2：不正解 — 誤り。三角形ACMで使う辺はAM=5 cmであり、AB=10 cmではない。この式は元の三角形ABCでBC²を求める式になる。
3. 選択肢3：不正解 — 誤り。余弦定理の交差項の符号が逆である。角CAMの余弦は前段階で得た正の1/2なので、交差項を引く。
4. 選択肢4：不正解 — 誤り。中点を結んだからといってCM=BC/2とは限らない。CMは中線であり、二辺の中点を結ぶ線分とは条件が違う。

次の段階へ渡す結果：CM²=8²+5²−2×8×5×(1/2)。

正解：CM=7 cm

本文の条件：点Mは線分ABの中点

CM²=64+25−40=49となる。長さは正なのでCM=√49=7 cm。中点Mの条件はAMを半分にするために使い、前段階までに得た角の余弦をそのまま再利用した。

結果として確認すること：CM=7 cm。同じ角を含む二つの三角形へ、余弦の値を引き継いだ。

次に解くときは：中点を含む図では、辺が半分になることと角が共通であることを分けて使い、別の三角形へ余弦定理を適用する。

正解：2：hB=OB sin60°、hD=OD sin60°

本文の条件：凸四角形ABCDの対角線ACとBDは点Oで交わる ／ ∠AOB=60°

B、O、Dは一直線上にあるので、∠AOD=180°−60°=120°となる。点から直線までの垂直距離は、線分と直線のなす角の正弦を使って表せる。sin120°=sin60°より、h_B=OB sin60°、h_D=OD sin60°である。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 誤り。余弦を掛けると、ACに沿う方向の距離の大きさを求めることになる。面積で使うのはACに垂直な方向の距離である。
2. 選択肢2：正解 — 正しい。角AOB=60°に対して、角AOD=120°である。sin120°=sin60°なので、それぞれOB、ODに同じ正弦を掛けて高さを求められる。
3. 選択肢3：不正解 — 誤り。角AODは120°であり、高さはOD sin120°で表す。120°の正弦はsin60°に等しく、cos60°ではない。
4. 選択肢4：不正解 — 誤り。OB=OD=3 cmとは限らない。BD=6 cmでも交点OがBDの中点という条件はなく、個別の距離を3と決められない。

次の段階へ渡す結果：hB=OB sin60°、hD=OD sin60°。

正解：4：3√3

本文の条件：凸四角形ABCDの対角線ACとBDは点Oで交わる ／ AC=8 cm、BD=6 cm

前段階の二式を足すとh_B+h_D=(OB+OD)sin60°となる。Oは線分BD内にあるので、OB+OD=BD=6 cmである。よって高さの和は6×√3/2=3√3。対角線が二等分し合うという仮定は必要ない。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 誤り。6 cos60°=3と計算している。前段階で得た高さには余弦ではなく正弦が対応する。
2. 選択肢2：不正解 — 誤り。sin60°は√3ではなく√3/2である。高さの和はBD=6 cmを超えないことからも、この値は合わない。
3. 選択肢3：不正解 — 誤り。二つの式に共通するsin60°でくくれば、必要なのはOBとODの和だけである。Oが線分BD内にあるため、その和は6 cmと分かる。
4. 選択肢4：正解 — 正しい。hB+hD=(OB+OD)sin60°=6×√3/2=3√3となる。個別の長さが不明でも、和OB+ODはBDに等しい。

次の段階へ渡す結果：二つの高さの和はhB+hD=3√3。

正解：S²=432

本文の条件：凸四角形ABCDの対角線ACとBDは点Oで交わる ／ AC=8 cm、BD=6 cm

凸四角形なので、対角線ACで分けた三角形ABCとACDの面積を足せば全体になる。両方の底辺はAC=8 cmだから、S=(1/2)×8×(h_B+h_D)=4×3√3=12√3。したがってS²=144×3=432となる。

結果として確認すること：S²=432。共通の底辺に対する高さの和で、四角形の面積を求めた。

次に解くときは：対角線で分けた二つの三角形は底辺を共通にできる。個別の高さが不明でも、その和が分かれば面積を求められる。

正解：1：2<x<12

本文の条件：AB=x cm、AC=5 cm、BC=7 cm

辺の長さがx、5、7なので、三角形の三辺の条件は|7−5|<x<7+5、すなわち2<x<12となる。この段階では鈍角条件や整数条件をまだ絞り込みに使っていない。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：正解 — 正しい。三角形の三辺の条件から|7−5|<x<7+5となる。両端の2と12では三点が一直線上に並ぶため含めない。
2. 選択肢2：不正解 — 誤り。xが正で12未満というだけでは不足する。最長辺7が残る二辺の和x+5より小さくなる条件から、x>2も必要である。
3. 選択肢3：不正解 — 誤り。x=2、12では一辺が残る二辺の和に等しくなり、面積のある三角形を作れない。端点は含まない厳しい不等号になる。
4. 選択肢4：不正解 — 誤り。未知の辺が既知の二辺の間の長さである必要はない。三角形の条件は、二辺の長さの差より大きく、和より小さいことである。

次の段階へ渡す結果：三角形ができる条件は2<x<12。

正解：2：2<x<2√6

本文の条件：AB=x cm、AC=5 cm、BC=7 cm ／ ∠BACは鈍角

余弦定理よりcos∠BAC=(x²+5²−7²)/(2×x×5)=(x²−24)/(10x)。x>0なので分母は正である。角Aが鈍角ならcos∠BAC<0であり、x²<24、0<x<2√6となる。前段階の2<x<12と合わせて2<x<2√6を得る。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 誤り。余弦が正になる範囲を選んでいる。鈍角にするには、角Aの向かいの辺7の二乗が、残る二辺の二乗の和より大きい必要がある。
2. 選択肢2：正解 — 正しい。cos∠BAC=(x²−24)/(10x)で、分母は正である。鈍角なら余弦が負だからx²<24となり、三辺の条件と合わせる。
3. 選択肢3：不正解 — 誤り。x=2√6では余弦が0となり、角Aは直角である。問題は鈍角を指定しているため、上端を含めない。
4. 選択肢4：不正解 — 誤り。√74は5²+7²の平方根であり、辺xの向かいの角が直角になる境界である。鈍角と指定されているのは角Aで、その対辺は7である。

次の段階へ渡す結果：三辺の条件と鈍角条件を合わせると2<x<2√6。

正解：条件を満たすxの和=7

本文の条件：xは正の整数

4²=16<24<25=5²より、4<2√6<5である。したがって2<x<2√6を満たす整数xは3と4であり、その和は3+4=7。最後に整数条件を使うことで、連続した範囲から候補を絞り込める。

結果として確認すること：可能な整数はx=3、4であり、その和は7。

次に解くときは：三角形の成立条件、角の条件、整数条件を順に重ねる。鈍角かどうかは指定された角の対辺を基準に判断する。

正解：4：12

本文の条件：AB=8 cm、AC=6 cm、∠BAC=30°

与えられた二辺AB、ACは角A=30°を挟むので、S=(1/2)×AB×AC×sin∠BAC=(1/2)×8×6×(1/2)=12となる。角を挟む二辺を使う面積公式は、高さを直接求めなくても適用できる。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 誤り。面積公式の1/2に加えて、sin30°=1/2を掛ければよい。さらにもう一度2で割る必要はない。
2. 選択肢2：不正解 — 誤り。24は(1/2)×8×6であり、二辺を垂直な底辺と高さとして扱っている。間の角が30°なのでsin30°を掛ける。
3. 選択肢3：不正解 — 誤り。12√3はsin60°を使った値である。最初の三角形ABCの角Aは30°であり、別の三角形の角度と混同しない。
4. 選択肢4：正解 — 正しい。二辺とその間の角を使い、S=(1/2)×8×6×sin30°=12となる。

次の段階へ渡す結果：三角形ABCの面積はS=12 cm²。

正解：3：x sin60°=4

本文の条件：DE=6 cm、DF=x cm、∠EDF=60° ／ 二つの三角形の面積は等しい

三角形DEFでは長さ6とxの二辺が角60°を挟む。したがって面積は(1/2)×6×x×sin60°=3x sin60°である。前段階の面積12に等しいので、3x sin60°=12、x sin60°=4となる。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 誤り。面積12を高さにそのまま対応させている。底辺DE=6の三角形の面積は3×高さなので、面積を3で割る必要がある。
2. 選択肢2：不正解 — 誤り。DEとDFが垂直という条件はない。x sin60°が底辺DEに対する高さになるので、正弦の因子を省けない。
3. 選択肢3：正解 — 正しい。三角形DEFの面積は(1/2)×6×x×sin60°である。これを12と等しくおき、両辺を3で割った式になっている。
4. 選択肢4：不正解 — 誤り。二つ目の三角形で指定された二辺を挟む角は60°である。面積が同じでも、元の三角形の角30°をそのまま使うことはできない。

次の段階へ渡す結果：同じ面積を作る条件はx sin60°=4。

正解：x²=64/3

本文の条件：DE=6 cm、DF=x cm、∠EDF=60° ／ 二つの三角形の面積は等しい

x sin60°=4の両辺を二乗すると、x² sin²60°=16となる。sin²60°=(√3/2)²=3/4より、(3/4)x²=16、x²=64/3である。角が30°から60°へ2倍になっても正弦は2倍にはならないため、辺の長さを単純に半分にすることはできない。

結果として確認すること：x²=64/3。同じ面積の条件を、長さと正弦の積の等式にして求めた。

次に解くときは：角を変えて面積を保つ問題では、角度そのものの比ではなく、二辺とその間の角の正弦を用いる。

正解：4：10人

本文の条件：各生徒は一度だけ集計され、日数の平均は全員の日数の合計を人数で割って求める。

一人を一度だけ数えているため、人数は各欄の度数を合計する。2＋4＋3＋1＝10人。日数の種類の数ではなく、生徒一人一人を平均の対象にする。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 誤り。6は0＋1＋2＋3の値で、日数の分類を足しています。人数ではありません。
2. 選択肢2：不正解 — 誤り。0日の2人も調査した生徒に含まれます。利用しなかった人を除かず、すべての度数を足す必要があります。
3. 選択肢3：不正解 — 誤り。4は日数の分類の個数です。平均の分母は調査した生徒の人数です。
4. 選択肢4：正解 — 正しい。各日数の人数を足すので、2＋4＋3＋1＝10人です。

次の段階へ渡す結果：調査した人数は10人。

正解：2：0×2＋1×4＋2×3＋3×1＝13

本文の条件：各生徒は一度だけ集計され、日数の平均は全員の日数の合計を人数で割って求める。

人数が異なるので、各分類を同じ重みでは扱わない。全員の日数の合計は、0×2＋1×4＋2×3＋3×1＝0＋4＋6＋3＝13日となる。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 誤り。日数の分類を一回ずつ足しており、同じ日数だった複数の生徒を反映していません。
2. 選択肢2：正解 — 正しい。それぞれの日数に、その日数だった人数を掛けて足すと13日です。
3. 選択肢3：不正解 — 誤り。これは人数の合計です。利用日数の合計には日数と人数の積が必要です。
4. 選択肢4：不正解 — 誤り。積の立て方は正しいものの、0＋4＋6＋3は16ではなく13です。

次の段階へ渡す結果：10人の利用日数の合計は13日。

正解：13/10日

本文の条件：各生徒は一度だけ集計され、日数の平均は全員の日数の合計を人数で割って求める。

平均＝全員の合計÷人数より、13÷10＝13/10日（1.3日）。分類の数4で割るのではなく、調査した10人で割ることが必要である。

結果として確認すること：平均利用日数は13/10日（1.3日）。

次に解くときは：度数分布の平均は「値×度数」の合計を、度数の合計で割る。

正解：3：Aは20分、Bは24分で、Bの方が大きい。

本文の条件：範囲は最大値−最小値、四分位範囲は第3四分位数−第1四分位数とする。

範囲＝最大値−最小値なので、Aは30−10＝20分、Bは32−8＝24分。全体の広がりはBが大きいが、これだけでは中央付近の広がりまでは決まらない。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 誤り。18は最大値から第1四分位数を引いた値です。全体の範囲では、最大値から最小値を引きます。
2. 選択肢2：不正解 — 誤り。16分と17分は中央値です。中心の位置と、全体の広がりを混同しています。
3. 選択肢3：正解 — 正しい。Aは30−10＝20分、Bは32−8＝24分です。両端の差を比べています。
4. 選択肢4：不正解 — 誤り。30分と32分は最大値だけです。範囲を出すには、それぞれ最小値を引く必要があります。

次の段階へ渡す結果：補正前の範囲はAが20分、Bが24分。

正解：2：Aは10分、Bは6分。

本文の条件：範囲は最大値−最小値、四分位範囲は第3四分位数−第1四分位数とする。

四分位範囲＝第3四分位数−第1四分位数より、Aは22−12＝10分、Bは20−14＝6分。全体の範囲と四分位範囲では、大きさの順が一致するとは限らない。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 誤り。これは最大値から最小値を引いた範囲です。四分位範囲とは使う値が違います。
2. 選択肢2：正解 — 正しい。Aは22−12＝10分、Bは20−14＝6分で、中央付近の散らばりはAの方が大きくなります。
3. 選択肢3：不正解 — 誤り。第3四分位数から中央値を引いています。四分位範囲は第1四分位数から第3四分位数までです。
4. 選択肢4：不正解 — 誤り。これは第1四分位数そのものです。第3四分位数との差を求める必要があります。

次の段階へ渡す結果：補正前の四分位範囲はAが10分、Bが6分。

正解：4分

本文の条件：Aの全測定値に5分を加える必要があり、Bには補正が不要

Aのすべての値に5分を加えると、第1・第3四分位数にも同じ5分が加わる。Aの四分位範囲は(22＋5)−(12＋5)＝22−12＝10分のまま。Bは6分なので、求める差は10−6＝4分。同じ定数を加えても散らばりは変わらない。

結果として確認すること：補正後も四分位範囲はAが10分、Bが6分で、差は4分。

次に解くときは：全体の範囲と四分位範囲を区別し、全値への一定量の加算はどちらも変えないと捉える。

正解：3：4

本文の条件：分散は、平均からの偏差の2乗を合計してデータの個数4で割る

平均は(2＋4＋4＋6)÷4＝16÷4＝4。分散で使う偏差は、この平均4を各測定値から引いて求める。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 誤り。16は合計です。平均には、合計をデータ数4で割る計算が必要です。
2. 選択肢2：不正解 — 誤り。最小値と最大値の合計2＋6をそのまま用いています。全データの合計を個数で割ります。
3. 選択肢3：正解 — 正しい。四つの値の合計は16で、データ数4で割ると4です。
4. 選択肢4：不正解 — 誤り。データ数から1を引いた3で割っています。平均の分母はデータ数4です。

次の段階へ渡す結果：xの平均は4。

正解：1：((2−4)²＋(4−4)²＋(4−4)²＋(6−4)²)÷4＝2

本文の条件：分散は、平均からの偏差の2乗を合計してデータの個数4で割る

偏差は−2、0、0、2。その2乗の合計は4＋0＋0＋4＝8である。個数4で割る分散なので、8÷4＝2となる。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：正解 — 正しい。偏差は−2、0、0、2なので、2乗の合計8を4で割り2となります。
2. 選択肢2：不正解 — 誤り。問題は4で割る分散を指定しています。データ数から1を引いた3で割るものではありません。
3. 選択肢3：不正解 — 誤り。元の値の2乗の平均を計算しています。平均からの偏差の2乗を使う必要があります。
4. 選択肢4：不正解 — 誤り。偏差を2乗していません。偏差の合計が0でも、データが同じ値に集まっているとは限りません。

次の段階へ渡す結果：xの平均は4、分散は2。

正解：18

本文の条件：y＝3x＋1

y＝3x＋1より、yの平均は3×4＋1＝13。各偏差はy−13＝3(x−4)で、xの偏差の3倍になる。偏差の2乗は9倍なので、分散は3²×2＝18。最後の＋1は平均も同じだけ動かすため、分散には影響しない。

結果として確認すること：yの分散は18。定数倍では分散はその定数の2乗倍になる。

次に解くときは：y＝ax＋bの分散は、元の分散のa²倍で、bには影響されない。

正解：4：全体として右上がりの傾向があるが、xが増えれば毎回yも増えるとはいえない。

本文の条件：xとyそれぞれの平均からの偏差

xが2→3のときyは3→2となり、一組には逆向きの変化がある。一方、全体は右上がりである。平均もそれぞれ(1＋2＋3＋4)÷4＝5/2と求まる。傾向と、各点が直線に一致することや因果関係は区別する。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 誤り。両端は(1,1)と(4,4)で、全体は右上がりです。途中の一組だけで逆の傾向とはいえません。
2. 選択肢2：不正解 — 誤り。(1,1)と(4,4)を通る直線はy＝xです。(2,3)と(3,2)はその直線上にありません。
3. 選択肢3：不正解 — 誤り。これは観測の組合せです。相関だけでは、xを操作したときの因果的な効果は証明できません。
4. 選択肢4：正解 — 正しい。全体は右上がりですが、xが2から3になる観測ではyが3から2へ下がっています。

次の段階へ渡す結果：全体として正の関連がある。xとyの平均はともに5/2。

正解：1：Sxx＝5、Syy＝5、Sxy＝4

本文の条件：xとyそれぞれの平均からの偏差

dxは−3/2、−1/2、1/2、3/2で、dyは−3/2、1/2、−1/2、3/2。偏差を用いるので、Sxx＝Syy＝(9＋1＋1＋9)/4＝5、Sxy＝(9−1−1＋9)/4＝4となる。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：正解 — 正しい。両変量の偏差2乗和は5で、対応する偏差の積の合計は4です。
2. 選択肢2：不正解 — 誤り。偏差の積は9/4、−1/4、−1/4、9/4で、合計は正の4です。
3. 選択肢3：不正解 — 誤り。偏差の順が一致するわけではありません。二つの観測で積が負になるため、積の合計は5になりません。
4. 選択肢4：不正解 — 誤り。偏差の合計は0ですが、求めるのは偏差の2乗の合計です。0にはなりません。

次の段階へ渡す結果：Sxx＝5、Syy＝5、Sxy＝4。

正解：4/5

本文の条件：相関係数はr＝Sxy÷√(Sxx×Syy)

r＝Sxy÷√(Sxx×Syy)より、r＝4÷√(5×5)＝4÷5＝4/5。正の関連はあるが、r＝1ではないので、四つの点が右上がりの同じ直線上に並んでいるわけではない。

結果として確認すること：相関係数rは4/5（0.8）。

次に解くときは：相関係数は対応する偏差の積で求め、正の相関と完全な直線関係や因果関係を区別する。

正解：1：中央値は4分のままで、平均値は大きくなる。

本文の条件：データは小さい順に並んでおり、5個のデータの中央値は3番目の値

5個の中央値は3番目なので、両日とも4分である。一方、最後の値は6分から26分へ20分増え、人数は5人のまま。したがって、合計を同じ人数で割る平均値は増える。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：正解 — 正しい。3番目の値は両日とも4で、合計だけが増えるため平均は大きくなります。
2. 選択肢2：不正解 — 誤り。中央値は変わりませんが、6分が26分になると合計が増えるので平均は変わります。
3. 選択肢3：不正解 — 誤り。26分は二日目の最大値です。中央値は小さい順の3番目にある4分です。
4. 選択肢4：不正解 — 誤り。二日目も3番目は4分です。大きな値が一つ増えても、この例の中央値は小さくなりません。

次の段階へ渡す結果：両日の中央値は4分。二日目の平均値は一日目より大きい。

正解：1：40分

本文の条件：平均値は待ち時間の合計を人数5で割る

二日目の全員の待ち時間の合計は2＋3＋4＋5＋26＝14＋26＝40分。26分が大きいからといって、問題の条件にない除外をしてはいけない。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：正解 — 正しい。二日目の五つの値を足すと、2＋3＋4＋5＋26＝40分です。
2. 選択肢2：不正解 — 誤り。20分は一日目の合計、または最後の値の増加量です。二日目の全員の合計ではありません。
3. 選択肢3：不正解 — 誤り。26分は最も長い一人の記録です。平均の分子には5人分の合計を使います。
4. 選択肢4：不正解 — 誤り。2＋3＋4＋5は14です。これに26を足すので、合計は34ではなく40となります。

次の段階へ渡す結果：二日目は5人で、待ち時間の合計は40分。

正解：8分

本文の条件：平均値は待ち時間の合計を人数5で割る

平均値＝合計÷人数より、40÷5＝8分。中央値は4分のままだが、平均値は一日目の(2＋3＋4＋5＋6)÷5＝4分から増えた。この例は大きな一つの値の影響を平均が受けることを示している。

結果として確認すること：二日目の平均値は8分で、中央値4分とは異なる。

次に解くときは：大きな値を含むときは平均と中央値を併せて読み、根拠なく記録を除外しない。

正解：4：各人が新案を選ぶ確率を1/2とし、20人の選択を独立に発生させる。

本文の条件：仮に各人が独立に、新案・旧案をそれぞれ確率1/2で選ぶ

独立な20人がそれぞれ確率1/2で新案を選ぶとする。この仮定で新案を選ぶ人数の期待値は20×1/2＝10人だが、毎回10人に固定するわけではなく、偶然による変動を調べる。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 誤り。実測割合をそのまま仮定の確率に使うのではありません。ここでは等確率の仮定と結果を比べます。
2. 選択肢2：不正解 — 誤り。1回の実験は20人分と決めています。実験人数を変えて15人を得る手続きではありません。
3. 選択肢3：不正解 — 誤り。20×1/2＝10は人数の期待値です。独立な選択では、各回の人数は10人の前後に変動します。
4. 選択肢4：正解 — 正しい。比較の出発点は、各人の選択確率が半分ずつで、互いに独立という仮定です。

次の段階へ渡す結果：仮定は各人の新案選択確率1/2、20人の選択は独立。各回の人数は変動する。

正解：2：分子12回、分母400回

本文の条件：新案がより好まれる方向だけを調べ、実測の15人以上となる割合

実測の15人以上に当たるのは表の2行目の12回。全体は388＋12＝400回であるから、割合の計算は12÷400となる。実測の15÷20とは意味が違う。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 誤り。388回は14人以下の側です。問題では新案がより好まれる方向の15人以上を調べます。
2. 選択肢2：正解 — 正しい。15人以上となった12回を、全シミュレーション400回で割って割合を求めます。
3. 選択肢3：不正解 — 誤り。分母は条件を満たさなかった回数ではなく、行った実験すべての400回です。
4. 選択肢4：不正解 — 誤り。15/20は実測の支持割合です。求めるのは仮定のもとで同等以上の結果が出た実験の割合です。

次の段階へ渡す結果：求める割合は、15人以上となった12回を全400回で割る。

正解：3%

本文の条件：シミュレーションでその割合が5%以下なら、最初の仮定のもとでは起こりにくい結果と判断する

百分率は(12÷400)×100＝3%。3%≤5%なので、この教材の規則では、最初の等確率の仮定のもとでは起こりにくい結果と判断する。ただし、400回によるシミュレーションの割合であり、新案が必ず好まれることや、仮定が絶対に誤りであることを証明したわけではない。

結果として確認すること：割合は3%。指定された規則では、等確率の仮定のもとで起こりにくい結果と判断する。

次に解くときは：仮定のもとで実測と同等以上の結果が出る割合と、実測の支持割合を区別する。

正解：2：20以上30未満

本文の条件：「以上」は境界の値を含み、「未満」は境界の値を含まない。

「20以上」は20を含むので、20≤20<30が成り立つ階級に入れる。「10以上20未満」では20<20が成り立たない。境界の人を二重計上したり除いたりしない。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 誤り。「20未満」は20を含みません。19分などは入りますが、ちょうど20分は次の階級です。
2. 選択肢2：正解 — 正しい。20≤20<30なので、20以上30未満に入ります。「以上」は20を含みます。
3. 選択肢3：不正解 — 誤り。各人は一つの階級にだけ入ります。「未満」と「以上」で境界の重複を避けています。
4. 選択肢4：不正解 — 誤り。境界を除外するのではありません。20は「20以上」の側に含めるため、漏れなく分類できます。

次の段階へ渡す結果：ちょうど20分の人は「20以上30未満」に含める。

正解：4：p＝1−(0.15＋0.35＋0.10＋0.05)＝0.35

本文の条件：各人は一つの階級に入り、相対度数の合計は1

相対度数の合計は1なので、0.15＋0.35＋p＋0.10＋0.05＝1。したがってp＝1−0.65＝0.35となる。各階級に同じ人数がいると仮定する必要はない。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 誤り。0.65はp以外の合計です。全階級の合計が1になるように残りを求めます。
2. 選択肢2：不正解 — 誤り。0.35の階級だけを1から引いています。他の既知の階級も合わせて差し引く必要があります。
3. 選択肢3：不正解 — 誤り。既知の相対度数の平均を空欄に入れる根拠はありません。相対度数の合計を利用します。
4. 選択肢4：正解 — 正しい。既知の相対度数の合計0.65を1から引くので、pは0.35です。

次の段階へ渡す結果：「20以上30未満」の相対度数pは0.35。

正解：40人

本文の条件：「以上」は境界の値を含み、「未満」は境界の値を含まない。

20分以上には、ちょうど20分の人も含む。該当する3階級の相対度数は0.35＋0.10＋0.05＝0.50。人数は80×0.50＝40人となる。

結果として確認すること：通学時間が20分以上の人は40人。

次に解くときは：階級の「以上・未満」を確認し、相対度数の合計1から欠けた値を復元する。

正解：2：基礎・発展のどちらでも、利用群の方が達成率が高い。

本文の条件：達成率は「達成人数÷受講者数×100」で求める。

達成人数÷受講者数×100を各欄に適用する。基礎は18/20×100＝90%、72/90×100＝80%。発展は24/80×100＝30%、2/10×100＝20%。両講座とも利用群の方が高い。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 誤り。発展も24/80＝30%、2/10＝20%で利用群が高くなります。達成人数だけで判断しないようにします。
2. 選択肢2：正解 — 正しい。基礎は90%と80%、発展は30%と20%で、どちらも利用群の方が高くなります。
3. 選択肢3：不正解 — 誤り。人数が異なる場合も割合の比較はできます。ただし、この観測だけで教材の因果的効果は断定できません。
4. 選択肢4：不正解 — 誤り。各群の達成人数を、その群の受講者数で割ると、両講座とも利用群の方が高くなります。

次の段階へ渡す結果：講座別では、基礎は利用90%・未利用80%、発展は利用30%・未利用20%。

正解：2：利用群42人、未利用群74人

本文の条件：表の人数はすべて同じ期間の受講者で、各人はいずれか一つの講座・群に属し、達成人数は対応する受講者数の内数である。

各人が一つの講座・群に属するため、人数はそのまま合計できる。利用群の達成人数は18＋24＝42人、未利用群は72＋2＝74人。受講者数は利用群20＋80＝100人、未利用群90＋10＝100人である。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 誤り。60と50は講座別の百分率を単純平均した値です。達成人数の合計にはなりません。
2. 選択肢2：正解 — 正しい。利用群は18＋24＝42人、未利用群は72＋2＝74人です。各群の達成人数を合計しています。
3. 選択肢3：不正解 — 誤り。18人と72人は基礎講座だけの達成人数です。発展講座の人数も足す必要があります。
4. 選択肢4：不正解 — 誤り。100人ずつという値は受講者数の合計です。全受講者が達成したわけではありません。

次の段階へ渡す結果：全体では、利用群は100人中42人、未利用群は100人中74人が達成。

正解：32ポイント

本文の条件：達成率は「達成人数÷受講者数×100」で求める。

達成率は達成人数を受講者数で割るので、利用群は42/100×100＝42%、未利用群は74/100×100＝74%。差は74−42＝32ポイント。利用群は達成率の低い発展講座の人が80%を占め、未利用群では10%である。群の構成比が違うため、講座別の比較と全体の比較は逆転している。教材の因果的効果はこの表だけでは断定できない。

結果として確認すること：全体の達成率の差は32ポイント。群の構成比の違いに注意する。

次に解くときは：部分ごとの割合と全体の割合は、集団の構成比によって大小関係が逆転することがある。

正解：2：2:3

本文の条件：AB＝6 cm、AC＝9 cm ／ 角Aの内角の二等分線と辺BCの交点をD

ADが角Aの内角の二等分線なので、BD:DC＝AB:AC。6:9＝2:3となる。角の二等分と、辺の二等分を混同しない。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 誤り。対応する辺の順が逆です。B側のBDにはAB＝6、C側のDCにはAC＝9が対応します。
2. 選択肢2：正解 — 正しい。内角の二等分線は対辺を両側の辺の比に分けるので、BD:DC＝AB:AC＝6:9＝2:3です。
3. 選択肢3：不正解 — 誤り。2:5はBDとBC全体の比です。ここでは分割された二つの部分BDとDCを比べています。
4. 選択肢4：不正解 — 誤り。角を半分にすることは、対辺を半分にすることとは異なります。ABとACが等しくないため、BDとDCも等しくありません。

次の段階へ渡す結果：BD:DC＝2:3。

正解：4：3x＝2(10−x)

本文の条件：BC＝10 cm

BC＝10 cmでDは辺の内部にあるから、DC＝10−x。前段階の比に代入するとx/(10−x)＝2/3、よって3x＝2(10−x)となる。この段階では、部分の比と全体との比を区別して式を立てる。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 誤り。分母10はBC全体です。比2:3の後ろの3はDCに対応するので、分母は10−xになります。
2. 選択肢2：不正解 — 誤り。左辺は長さの合計10です。比の数2と3を足した5と、実際の長さの合計を直接等置できません。
3. 選択肢3：不正解 — 誤り。これはBD:DCを3:2としている式です。前段階で得た2:3とは逆になっています。
4. 選択肢4：正解 — 正しい。DC＝10−xなので、x/(10−x)＝2/3を交差に掛けると3x＝2(10−x)です。

次の段階へ渡す結果：BD＝x cm、DC＝10−x cmとして、3x＝2(10−x)。

正解：4 cm

本文の条件：BC＝10 cm

3x＝20−2xより5x＝20、したがってx＝4。BC＝10 cmなのでDC＝6 cmとなり、BD:DC＝4:6＝2:3も確認できる。求めるBDは4 cmである。

結果として確認すること：BD＝4 cm。

次に解くときは：内角の二等分線では「対辺の二つの部分の比＝両側の辺の比」を使う。

正解：2：2:5

本文の条件：AD＝4 cm ／ Dを通りBCに平行な直線と、辺ACの交点をE

DE∥BCより対応する角が等しく、△ADE∽△ABCである。対応する辺ADとABを使うので、AD:AB＝4:10＝2:5。DBを使うと対応関係を誤る。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 誤り。2:3はAD:DB＝4:6の比です。対応する辺は部分のADと全体のABです。
2. 選択肢2：正解 — 正しい。ADがABに対応するので、AD:AB＝4:10＝2:5です。
3. 選択肢3：不正解 — 誤り。3:5はDB:AB＝6:10の比です。小さい三角形の辺はDBではなくADです。
4. 選択肢4：不正解 — 誤り。5:2は大きい三角形から小さい三角形への比です。問われている比の順と逆になっています。

次の段階へ渡す結果：△ADEと△ABCの相似比は2:5。

正解：4：4:25

本文の条件：Dを通りBCに平行な直線と、辺ACの交点をE

平行線によってできた二つの相似三角形では、対応する底辺も高さも2/5倍になる。よって面積の倍率は(2/5)×(2/5)＝4/25で、面積比は4:25である。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 誤り。25:4は大きい三角形から小さい三角形への面積比です。問われている順序とは逆です。
2. 選択肢2：不正解 — 誤り。9:25は比3:5を2乗しています。前段階で求めた小さい三角形の相似比は2:5です。
3. 選択肢3：不正解 — 誤り。2:5は長さの比です。面積では底辺と高さの両方が同じ比で変わるため2乗します。
4. 選択肢4：正解 — 正しい。相似な図形の面積比は相似比の2乗なので、2²:5²＝4:25です。

次の段階へ渡す結果：△ADE:△ABCの面積比は4:25。

正解：36/5 cm²

本文の条件：三角形ABCの面積は45 cm²

△ABCの面積は45 cm²なので、△ADEの面積は45×4/25＝180/25＝36/5 cm²。長さの比2/5をそのまま掛けず、面積の倍率4/25を用いる。

結果として確認すること：△ADEの面積は36/5 cm²（7.2 cm²）。

次に解くときは：相似比は対応する辺で求め、面積にはその比の2乗を用いる。

正解：1：(BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)＝1

本文の条件：線分AD、BE、CFは三角形の内部の一点で交わる。

AD、BE、CFが一点で交わるため、チェバの定理より(BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)＝1。与えられた二つの比の積は(2/3)×(4/5)＝8/15であり、これに残りの比を掛けて1にする。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：正解 — 正しい。三頂点から対辺へ引いた線分が一点で交わるため、辺を一巡する順に分割比を掛けると1です。
2. 選択肢2：不正解 — 誤り。最初の二つの比の向きを固定したとき、最後はAF/FBです。一つだけ逆数にすると関係が変わります。
3. 選択肢3：不正解 — 誤り。各辺の一部分を辺全体で割った比ではありません。各辺を分ける二つの部分どうしを比べます。
4. 選択肢4：不正解 — 誤り。チェバの定理が定めるのは三つの比の積です。比の和を1にする関係ではありません。

次の段階へ渡す結果：(BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)＝1で、最初の二つの比の積は8/15。

正解：3：15:8

本文の条件：BD:DC＝2:3、CE:EA＝4:5

BD/DC＝2/3、CE/EA＝4/5を代入すると、(8/15)×(AF/FB)＝1。両辺を8/15で割り、AF/FB＝15/8となる。したがってAF:FB＝15:8である。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 誤り。8/15は与えられた二つの比の積です。残りの比はそれとの積が1になる逆数15/8です。
2. 選択肢2：不正解 — 誤り。23:15はAB全体とAFの比です。AF:FBとは比べる線分も順も異なります。
3. 選択肢3：正解 — 正しい。(8/15)×(AF/FB)＝1なので、AF/FB＝15/8です。
4. 選択肢4：不正解 — 誤り。15:23はAFとAB全体の比です。ここではAFとFBの二部分の比を求めています。

次の段階へ渡す結果：AF:FB＝15:8。AB全体は比の23に当たる。

正解：30 cm

本文の条件：AB＝46 cm

Fは辺ABの内部なのでAF＋FB＝AB。比の全体は15＋8＝23である。AB＝46 cmより、AF＝46×15/23＝30 cm。残りは16 cmとなり、30:16＝15:8を満たす。

結果として確認すること：AF＝30 cm。

次に解くときは：チェバの定理では辺を一巡する向きで三つの分割比を掛け、最後に辺全体を比で分ける。

正解：1：(6＋x) cm

本文の条件：FはCAをAの側へ延長した先にあり、三点はC、A、Fの順に並ぶ。 ／ AC＝6 cm

三点はC、A、Fの順なので、途中のAで分けるとCF＝CA＋AF。CA＝6 cmより、CF＝6＋x cm。図の見た目ではなく、指定された点の順序で足し引きを決める。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：正解 — 正しい。C、A、Fの順なので、CF＝CA＋AF＝6＋xです。延長された分を足します。
2. 選択肢2：不正解 — 誤り。CFにはAFだけでなくCAの6 cmも含まれます。二つの長さを同じにしてはいけません。
3. 選択肢3：不正解 — 誤り。6−xはFが線分CAの内側にある場合の差です。今回はFがAより外側にあります。
4. 選択肢4：不正解 — 誤り。x＝AFよりCFの方が長いので、CF＝x−6にはなりません。点の並び順を確認します。

次の段階へ渡す結果：AF＝x cm、CF＝(6＋x) cm。

正解：1：(1/2)×(1/3)×((6＋x)/x)＝1

本文の条件：AD:DB＝1:2、BE:EC＝1:3

D、E、Fが一直線上なので、正の長さを用いるメネラウスの定理より(AD/DB)×(BE/EC)×(CF/FA)＝1。1/2と1/3、前段階のCF＝6＋xを代入すると、(1/2)×(1/3)×((6＋x)/x)＝1。整理すれば6＋x＝6xである。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：正解 — 正しい。正の長さでは(AD/DB)×(BE/EC)×(CF/FA)＝1となり、条件を代入した式です。
2. 選択肢2：不正解 — 誤り。メネラウスの定理では三つの比の積を使います。和を1とする関係ではありません。
3. 選択肢3：不正解 — 誤り。FはAを越えた延長上にあるのでCF＝6＋xです。6−xという引き算は点の配置と一致しません。
4. 選択肢4：不正解 — 誤り。最初の二つの比の向きに合わせると、最後はCF/FAです。FA/CFにだけ逆転してはいけません。

次の段階へ渡す結果：x＝AFは6＋x＝6xを満たす。

正解：6/5 cm

本文の条件：FはCAをAの側へ延長した先にあり、三点はC、A、Fの順に並ぶ。

6＋x＝6xより6＝5x、したがってx＝6/5。FがAの側の延長上にあるため、CF＝6＋6/5＝36/5 cmとなり、CF/FA＝6である。(1/2)×(1/3)×6＝1も確認できる。

結果として確認すること：AF＝6/5 cm（1.2 cm）。

次に解くときは：延長線上の点は並び順から線分の和・差を決め、メネラウスの比の向きをそろえる。

正解：3：PB＝12 cm、PD＝(4＋x) cm

本文の条件：P、A、Bの順、およびP、C、Dの順 ／ PA＝3 cm、AB＝9 cm、PC＝4 cm

P、A、Bの順より、PB＝PA＋AB＝3＋9＝12 cm。同様にPD＝PC＋CD＝(4＋x) cmである。方べきに使う「外部の点から遠い交点まで」の長さを、円内の部分と区別する。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — P、A、Bの順なのでPBはAB−PAではありません。同様にPDもCD−PCではなく、外側と内側の部分の和です。
2. 選択肢2：不正解 — PBは正しいですが、PDはPCからCDを引いた長さではありません。CがPとDの間にあるので足します。
3. 選択肢3：正解 — Pから遠い交点までの長さは、Pから近い交点までと円内の部分の和です。PB＝PA＋AB、PD＝PC＋CDとなります。
4. 選択肢4：不正解 — ABとCDは円内の部分です。Pから遠い交点までの長さには、それぞれPAとPCも加える必要があります。

次の段階へ渡す結果：PB＝12 cm、PD＝(4＋x) cm。

正解：1：3×12＝4×(4＋x)

本文の条件：P、A、Bの順、およびP、C、Dの順 ／ PA＝3 cm、AB＝9 cm、PC＝4 cm

外部の点Pからの2割線について、PA×PB＝PC×PD。PA＝3、PB＝3＋9、PC＝4と前段のPD＝4＋xを代入すると、3×12＝4×(4＋x)となる。近い交点までと遠い交点までを同じ直線ごとに組にする。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：正解 — 同じ割線上の近い交点までと遠い交点までを掛け、PA×PB＝PC×PDとします。前段の長さを代入した式です。
2. 選択肢2：不正解 — 方べきは長さの積についての等式です。近い交点と遠い交点までの長さの和が等しいとは限りません。
3. 選択肢3：不正解 — 異なる割線の長さを交差させて掛けています。PAとPB、PCとPDという同じ割線上の組を用います。
4. 選択肢4：不正解 — 方べきではPA×ABではなくPA×PBを使います。右辺もPC×CDではなくPC×PDが必要です。

次の段階へ渡す結果：CD＝x cmとして、3×12＝4×(4＋x)。

正解：5 cm

本文の条件：P、A、Bの順、およびP、C、Dの順 ／ PA＝3 cm、AB＝9 cm、PC＝4 cm

3×12＝4×(4＋x)より、36＝16＋4x。したがって4x＝20、x＝5。CはPとDの間なのでCDはPDからPCを除いた部分であり、求める長さは5 cmである。

結果として確認すること：CD＝5 cm。

次に解くときは：方べきの積は「外部の点から近い交点まで」×「同じ割線の遠い交点まで」で作る。

正解：1：AG：GD＝2：1なので、GD/AD＝1/3である。

本文の条件：三角形ABCの重心

Gが重心であるため、AG：GD＝2：1。GDをt cmとするとAG＝2t cm、AD＝3t cmなので、GD/AD＝t/(3t)＝1/3となる。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：正解 — 重心は各中線を頂点側から2：1に内分します。AD＝AG＋GD＝3GDなので、GDはADの3分の1です。
2. 選択肢2：不正解 — 2：1の比は頂点A側が2です。Gに近い底辺側のGDを2とすると、重心の位置を逆にしています。
3. 選択肢3：不正解 — 中点なのは辺BC上のDです。重心Gは中線ADの中点ではなく、頂点側から2：1に内分する点です。
4. 選択肢4：不正解 — AGはADの一部分なのでADより長くありません。正しい比はAG：GD＝2：1であり、比を取る線分が違います。

次の段階へ渡す結果：GはAD上にあり、GD/AD＝1/3。

正解：4：h＝9×(1/3)

本文の条件：三角形ABCの重心 ／ Aから直線BCへ下ろした垂線の長さは9 cm

AD上では、Dからの距離と直線BCからの高さが比例する。前段のGD/AD＝1/3を使い、h/9＝GD/AD＝1/3。よってh＝9×(1/3)となる。面積を計算するときは、この高さと底辺BCを使う。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 12/2はBDまたはDCの長さであり、AからBCへの高さではありません。高さを比べるための元の長さは9です。
2. 選択肢2：不正解 — 2：1の2だけを掛けるのではありません。中線全体ADを3と見たときのGDの割合1/3を使います。
3. 選択肢3：不正解 — 2/3はAG/ADです。BCを基準とする高さには、底辺上のDからGまでの割合GD/ADを使います。
4. 選択肢4：正解 — Dの高さは0なので、AD上の点の高さはDからの距離に比例します。GD/ADをAの高さ9に掛けます。

次の段階へ渡す結果：GからBCへの高さはh＝9×(1/3) cm。面積はBC×h÷2。

正解：18 cm²

本文の条件：三角形ABCの重心 ／ Aから直線BCへ下ろした垂線の長さは9 cm ／ BC＝12 cm

前段よりh＝9×(1/3)＝3 cm。底辺BC＝12 cmなので、面積は12×3÷2＝18 cm²。重心の2：1は線分の比だが、同じ底辺から測った高さの比にも対応する。

結果として確認すること：三角形GBCの面積は18 cm²。

次に解くときは：重心から底辺までの高さは、頂点からの高さにGD/AD＝1/3を掛けて求める。

正解：4：CP＝5/2 cmであり、ACとCPは垂直である。

本文の条件：AB＝6 cm、BC＝8 cm、AE＝5 cm ／ 側辺CGの中点

側辺CGはAEと等しいのでCG＝5 cm。PがCGの中点よりCP＝CG/2＝5/2 cmである。CGは底面に垂直で、ACは底面上のCを通るから、∠ACP＝90°となる。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 8 cmは底面の辺BCです。Pがある辺は高さ方向のCGなので、AEと等しい5 cmを半分にします。
2. 選択肢2：不正解 — 5 cmは側辺CG全体の長さです。中点PまでのCPは、その半分として計算する必要があります。
3. 選択肢3：不正解 — CPの長さは正しいですが、CGは底面に垂直です。底面上のACとCPは平行ではなく垂直になります。
4. 選択肢4：正解 — 直方体ではCG＝AE＝5です。PはCGの中点なのでCP＝5/2で、底面に垂直なCGは底面上のACにも垂直です。

次の段階へ渡す結果：CP＝5/2 cm、AC⊥CP。

正解：1：AP²＝6²＋8²＋(5/2)²

本文の条件：AB＝6 cm、BC＝8 cm、AE＝5 cm ／ 側辺CGの中点

長方形の底面では∠ABC＝90°だから、AC²＝6²＋8²。前段でAC⊥CPと確認したので、AP²＝AC²＋CP²＝6²＋8²＋(5/2)²となる。直角三角形を底面と空間内で1回ずつ使う。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：正解 — 底面の直角三角形ABCでAC²＝6²＋8²を求め、直角三角形ACPでさらにCP²を加えます。
2. 選択肢2：不正解 — BCとCPは異なる方向の線分です。8＋5/2を一辺とする直角三角形があるとはいえず、それぞれ平方にします。
3. 選択肢3：不正解 — 最後の5²はCG全体を使っています。終点はGではなく中点Pなので、加えるのは(5/2)²です。
4. 選択肢4：不正解 — 底面の対角線ACはAB＋BCではありません。直交する辺について、長さの和ではなく平方の和を使います。

次の段階へ渡す結果：AP²＝6²＋8²＋(5/2)²。

正解：425/4 cm²

本文の条件：AB＝6 cm、BC＝8 cm、AE＝5 cm ／ 側辺CGの中点

AP²＝36＋64＋25/4＝100＋25/4＝425/4 cm²。中点までの高さ5/2を二乗するので25/4を加える。問われているのは長さAPではなくAP²のため、最後に平方根を取る必要はない。

結果として確認すること：AP²＝425/4 cm²。

次に解くときは：空間の線分は底面への射影と高さで直角三角形を作り、平方を順に足す。

正解：4：AD＝AF、BD＝BE、CE＝CF

本文の条件：AB＝13 cm、BC＝14 cm、CA＝15 cm ／ 内接円は辺AB、BC、CAにそれぞれD、E、Fで接する

Aから内接円への接線の長さはAD＝AF。同様にBD＝BE、CE＝CFとなる。AF＝AD＝x、BD＝BE＝y、CE＝CF＝zとおけば、AB＝AD＋DB＝x＋yと表せる。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — AB＝13、AC＝15なので最初の等式から成り立ちません。接線長の性質は三角形全体を二等辺にするものではありません。
2. 選択肢2：不正解 — 接点が辺の中点になるとは限りません。この三角形では同じ辺の両端から接点までを等しいとはいえません。
3. 選択肢3：不正解 — 接線の長さが等しいのは同じ外部の点から引いた2本です。異なる頂点を始点とする長さを組にしています。
4. 選択肢4：正解 — Aからの接線の長さADとAF、BからのBDとBE、CからのCEとCFは、それぞれ等しくなります。

次の段階へ渡す結果：AD＝AF＝x、BD＝BE＝y、CE＝CF＝zとおける。

正解：4：2x＝13＋15−14

本文の条件：AB＝13 cm、BC＝14 cm、CA＝15 cm ／ 内接円は辺AB、BC、CAにそれぞれD、E、Fで接する

x＋y＝13、y＋z＝14、z＋x＝15。Aを端点とする2辺の式を足し、残る辺の式を引くと、(x＋y)＋(x＋z)−(y＋z)＝13＋15−14。左辺のy、zが消え、2x＝13＋15−14となる。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 3辺の和は2x＋2y＋2zです。1本の接線の長さxが三角形の周の長さに等しいとはいえません。
2. 選択肢2：不正解 — AB＋BC−CAでは、(x＋y)＋(y＋z)−(x＋z)＝2yとなります。求めたいxとは異なる接線長です。
3. 選択肢3：不正解 — BC＋CA−ABでは、(y＋z)＋(x＋z)−(x＋y)＝2zとなります。Aからの接線長xを表す式ではありません。
4. 選択肢4：正解 — AB＋ACからBCを引くと、(x＋y)＋(x＋z)−(y＋z)＝2xとなり、yとzが消えます。

次の段階へ渡す結果：2x＝13＋15−14。

正解：7 cm

本文の条件：AB＝13 cm、BC＝14 cm、CA＝15 cm ／ 内接円は辺AB、BC、CAにそれぞれD、E、Fで接する

2x＝13＋15−14＝14よりx＝7。したがってAF＝7 cmである。確認するとAD＝7、BD＝13−7＝6、CF＝15−7＝8で、BE＋CE＝6＋8＝14もBCの長さと一致する。

結果として確認すること：AF＝7 cm。

次に解くときは：内接円では同じ頂点からの接線長を同じ文字に置き、3辺の和と差で不要な文字を消す。

正解：1：AとBを1組と見て4個を並べ、組の内部はABとBAの2通りを考える。

本文の条件：AとBは隣り合う

A、Bを隣り合う1組にすると、並べる対象は5−2＋1＝4個。組の内部はAB、BAの2通りである。ここではまだCとDの左右条件を反映していない。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：正解 — 組ABとC、D、Eの計4個です。隣り合う条件だけではAとBの左右を指定していないので、内部は2通りあります。
2. 選択肢2：不正解 — 5冊を自由に並べるとAとBの間に別の本が入る場合もあります。隣接条件を数え上げに反映できていません。
3. 選択肢3：不正解 — まとめると減る個数は1個です。5冊のうち2冊を1組にするので、対象は5−2＋1＝4個になります。
4. 選択肢4：不正解 — 問題はAがBの左とは指定していません。BAの順で隣り合う場合も含める必要があります。

次の段階へ渡す結果：対象は組ABとC、D、Eの4個。組の内部は2通り。

正解：2：2×4!÷2

本文の条件：AとBは隣り合う ／ CはDより左側に置く

前段より隣接だけを満たす数は2×4!。各並びのCとDを交換すると、CがDより左の並びと右の並びが1対1で対応する。AとBの隣接はこの交換で保たれるため、求める数は2×4!÷2となる。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 並べるのは組AB、C、D、Eの4個です。3!では、そのうち1個を数え落としてしまいます。
2. 選択肢2：正解 — 4個の並びは4!通り、ABの内部は2通りです。CとDを入れ替える対応で、Cが左の並びはちょうど半分になります。
3. 選択肢3：不正解 — Cが左になる半分は考慮していますが、組の内部のABとBAの2通りを数え落としています。
4. 選択肢4：不正解 — AとBの隣接だけを満たす数です。CがDより右側になる並びも含むので、さらに左右条件を反映します。

次の段階へ渡す結果：条件を満たす並べ方は2×4!÷2通り。

正解：24通り

本文の条件：AとBは隣り合う ／ CはDより左側に置く

2×4!÷2＝2×(4×3×2×1)÷2＝24。組の内部の2通りと、CがDより左である割合1/2の両方を数えた結果、24通りとなる。

結果として確認すること：条件を満たす並べ方は24通り。

次に解くときは：隣接は1組にまとめ、左右の順序条件は入替えによる1対1の対応で割合を判断する。

正解：3：選ばれた順序を区別せず、7人から4人を選ぶ組合せを数える。

本文の条件：1年生3人、2年生4人の計7人 ／ 役職を区別せず4人の委員を選び、どの4人組も同じ確率で選ばれる

候補者は3＋4＝7人。役職を区別しない4人組が等確率なので、全体は7人から4人を選ぶ組合せで数える。同じ4人の選出順は4!通りあるが、それらは同じ委員会を表す。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 人数の種類ごとに候補者の選び方が異なります。等確率なのは個々の4人組であり、学年構成の種類ではありません。
2. 選択肢2：不正解 — 同じ4人なら同じ委員会です。順序付きで分母・分子をそろえて計算する別解もありますが、委員会そのものが異なるわけではありません。
3. 選択肢3：正解 — 役職も選出順も区別しないので、同じ4人なら1組です。問題はこの4人組が等確率だと指定しています。
4. 選択肢4：不正解 — 各学年2人は求める事象の条件であり、選出方法の制限ではありません。他の学年構成の委員会も選ばれます。

次の段階へ渡す結果：分母は7人から4人を選ぶ組合せの数。分子も順序を付けず数える。

正解：2：C(3,2)×C(4,2) / C(7,4)

本文の条件：1年生3人、2年生4人の計7人 ／ 役職を区別せず4人の委員を選び、どの4人組も同じ確率で選ばれる

1年生2人はC(3,2)、2年生2人はC(4,2)通り。両方の選択を組み合わせてC(3,2)×C(4,2)通りとなる。前段の全体C(7,4)で割るので、求める式はC(3,2)×C(4,2)/C(7,4)。例えばC(3,2)は3×2÷(2×1)と計算できる。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 両学年から同時に選ぶため和ではなく積を用います。和は一方の学年だけの選び方を合わせた数です。
2. 選択肢2：正解 — 1年生から2人選ぶ方法と2年生から2人選ぶ方法を組み合わせるので積です。全4人組の数で割ります。
3. 選択肢3：不正解 — 分子は順序なし、分母は順序付きになっています。順序付きの別解なら分子も同じ基準にそろえる必要があります。
4. 選択肢4：不正解 — 分母は正しいですが、分子は1年生1人・2年生3人の委員会です。求める構成の2人ずつになっていません。

次の段階へ渡す結果：確率はC(3,2)×C(4,2)/C(7,4)。

正解：18/35

本文の条件：1年生3人、2年生4人の計7人 ／ 役職を区別せず4人の委員を選び、どの4人組も同じ確率で選ばれる

C(3,2)＝3、C(4,2)＝6、C(7,4)＝35。よって確率は3×6/35＝18/35。同じ確率で選ばれる4人組を分母・分子ともに1組ずつ数えたため、個数の比を確率にできる。

結果として確認すること：1年生2人・2年生2人となる確率は18/35。

次に解くときは：順序付き・順序なしのどちらで数える場合も、分母と分子の数え方を一致させる。

正解：1：赤赤、赤青、赤白となる実際の玉の組を数え、色の種類だけを等確率とはしない。

本文の条件：1個目は袋に戻さない ／ 少なくとも1個は赤だった

少なくとも赤1個なので、赤赤、赤青、赤白が残る。戻さず抽出する順序付きの結果は6×5通りで、各2個組は逆順も含め2回ずつ数えられる。したがって2個組は6×5÷2通りで等確率となり、そのうち条件を満たす組に全体を絞る。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：正解 — 少なくとも1個には赤2個の場合も含みます。赤青と赤白では実際の玉の組数が違うので、色の種類を等確率とは扱いません。
2. 選択肢2：不正解 — 等確率なのは実際の玉の組です。赤青は3×2組、赤白は3×1組であり、色の3種類は等確率ではありません。
3. 選択肢3：不正解 — 赤赤も「少なくとも1個は赤」に当てはまります。「赤がちょうど1個」という別の条件に置き換えています。
4. 選択肢4：不正解 — 赤が出た順序は指定されていません。青→赤や白→赤も条件を満たすため、最初が赤の結果だけには絞れません。

次の段階へ渡す結果：分母は少なくとも赤1個の玉の組。分子は赤青の組になる。

正解：4：C(3,1)×C(2,1) / {C(6,2)−C(3,2)}

本文の条件：赤玉3個、青玉2個、白玉1個 ／ 1個目は袋に戻さない ／ 少なくとも1個は赤だった

赤以外は青2個＋白1個＝3個。前段の分母は全体C(6,2)から赤なしのC(3,2)を引く。分子は赤3個から1個、青2個から1個を選ぶC(3,1)×C(2,1)。戻さないので、同じ玉を重ねて選ぶ組は数えない。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — これは最初に赤を1個取ったと指定された場合の次の青の確率です。今回の条件は赤の出る順序を指定していません。
2. 選択肢2：不正解 — 分子は正しいですが、分母に赤を含まない組も残っています。得られた情報に応じて全体を絞る必要があります。
3. 選択肢3：不正解 — 分母は赤1個と赤以外1個の組だけです。条件を満たす赤赤の組を除いているため、分母が小さくなっています。
4. 選択肢4：正解 — 全2個組から赤を含まない3個中2個の組を引けば分母です。条件下で青が1個なら、もう1個は赤なので分子は赤青です。

次の段階へ渡す結果：確率はC(3,1)×C(2,1)/{C(6,2)−C(3,2)}。

正解：1/2

本文の条件：赤玉3個、青玉2個、白玉1個 ／ 1個目は袋に戻さない ／ 少なくとも1個は赤だった

分子は3×2＝6、分母はC(6,2)−C(3,2)＝15−3＝12。したがって6/12＝1/2。少なくとも赤1個と分かった後の12組を、確率の全体として用いている。

結果として確認すること：条件の下で青玉がちょうど1個含まれる確率は1/2。

次に解くときは：条件付き確率は情報を得た後の全体で割り、色の種類と実際の玉の組数を区別する。

正解：1：各回で赤は2/5、白は3/5で、別の回の結果によって変わらない。

本文の条件：赤玉2個、白玉3個 ／ 毎回その玉を袋に戻して十分に混ぜる

玉の総数は2＋3＝5個。毎回戻して混ぜるため、各回の赤の確率は2/5、白は3/5のままである。独立な抽出なので、決まった色の列の確率は各回の確率を掛けて求められる。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：正解 — 毎回元の5個に戻して混ぜるので、赤2個・白3個の割合を保ちます。独立という条件から他の回の結果も影響しません。
2. 選択肢2：不正解 — 1/4は赤を戻さず、赤1個・白3個が残る場合の確率です。この問題では取り出した玉を毎回戻しています。
3. 選択肢3：不正解 — 等確率なのは玉1個ずつであって、色2種類ではありません。玉の個数が異なるので、赤と白の確率も異なります。
4. 選択肢4：不正解 — 同じ赤玉が別の回に再び選ばれることもあります。戻す操作によって袋の赤玉は常に2個に保たれます。

次の段階へ渡す結果：各回は独立で、P(赤)＝2/5、P(白)＝3/5。

正解：4：C(5,2)×(2/5)²×(3/5)³

本文の条件：赤玉2個、白玉3個 ／ 毎回その玉を袋に戻して十分に混ぜる ／ 5回行い、赤がちょうど2回出る

5回中、赤になる2回の位置を選ぶ数はC(5,2)＝5×4/(2×1)。どの列も前段より確率は(2/5)²×(3/5)³である。互いに異なる色の列は重ならないので、C(5,2)を掛ける。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 赤の確率に3乗、白の確率に2乗を用いており、赤3回・白2回を数えています。指定の回数が逆です。
2. 選択肢2：不正解 — この式は5個から戻さず5個全部を取り、赤2個・白3個を含む場合です。毎回戻す反復試行とは別の操作です。
3. 選択肢3：不正解 — これは例えば赤赤白白白という特定の順序1通りの確率です。赤が出る2つの位置を変えた列も数えます。
4. 選択肢4：正解 — 赤になる2回の位置はC(5,2)通りです。各列の確率は赤2回と白3回の積で、異なる列は同時に起こらないため足せます。

次の段階へ渡す結果：確率はC(5,2)×(2/5)²×(3/5)³。

正解：216/625

本文の条件：赤玉2個、白玉3個 ／ 毎回その玉を袋に戻して十分に混ぜる ／ 5回行い、赤がちょうど2回出る

C(5,2)＝10より、確率は10×(4/25)×(27/125)＝1080/3125＝216/625。各回で戻すため、分母の5を回ごとに減らさずに掛けている。

結果として確認すること：5回中赤がちょうど2回出る確率は216/625。

次に解くときは：戻す反復試行では各回の確率を保ち、特定の色の列の確率にその列の配置数を掛ける。

正解：3：全体は36通りで、和が2または12は2通り、和が7は6通り。

本文の条件：2個の公正な6面のさいころを独立に1回ずつ投げる

区別できる2個の独立なさいころなので、全体は6×6＝36通り。和2、12は(1,1)、(6,6)の1＋1＝2通り。和7は(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1)の6通りである。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 和の種類は11ですが、それぞれを作る出目の組数が異なります。等確率なのは36個の順序付きの出目の組です。
2. 選択肢2：不正解 — 6＋6では2個を同時に指定する組を数えられません。1個目の各出目に2個目の6通りがあるので6×6です。
3. 選択肢3：正解 — 独立な6通りずつなので全体は6×6です。端の和は(1,1)、(6,6)、和7は(1,6)から(6,1)まで6組あります。
4. 選択肢4：不正解 — (1,6)と(6,1)などを同一視しています。さいころを区別するので和7の3種類の組に、それぞれ逆順もあります。

次の段階へ渡す結果：等確率な全36通りのうち、和2または12は2通り、和7は6通り。

正解：1：E＝(120×2＋30×6)/36−5

本文の条件：2個の公正な6面のさいころを独立に1回ずつ投げる ／ 参加するたびに必ず5ポイントを支払う

前段より、120ポイントの確率は2/36、30ポイントは6/36、0ポイントは(36−2−6)/36。受取額の期待値は120×(2/36)＋30×(6/36)＋0×(28/36)である。支払う5ポイントは毎回一定なので、これから5を引く。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：正解 — 各受取額にその確率を掛けて足し、毎回必ず支払う5を引きます。受取0の項は期待値の式では省略できます。
2. 選択肢2：不正解 — 参加費は受け取るのではなく支払うため、増減を求める式では5を引きます。確率の部分は正しく数えています。
3. 選択肢3：不正解 — 120、30、0という3種類の受取額は等確率ではありません。前段で求めた、それぞれの出目の組数を重みとして使います。
4. 選択肢4：不正解 — 目の和の11種類を等確率とする式です。各和を作る出目の組数が違うため、36通りの出目に基づく確率で重みを付けます。

次の段階へ渡す結果：E＝(120×2＋30×6)/36−5。

正解：20/3ポイント

本文の条件：2個の公正な6面のさいころを独立に1回ずつ投げる ／ 参加するたびに必ず5ポイントを支払う

E＝(240＋180)/36−5＝420/36−5＝35/3−15/3＝20/3。参加費を毎回引いた増減の期待値は20/3ポイントである。これは1回の実際の受取額ではなく、各増減を確率で重み付けした値を表す。

結果として確認すること：増減の期待値は20/3ポイント。

次に解くときは：期待値は結果の種類を単純平均せず、各結果の確率で重み付けし、一定の支払いは最後に引く。

正解：4：3枚すべて偶数の場合、または3枚すべて奇数の場合。これらは重ならない。

本文の条件：1、2、3、4、5、6、7、8が1枚ずつ書かれた8枚のカード ／ 偶数のカードと奇数のカードが少なくとも1枚ずつ含まれる

偶数は2、4、6、8の4枚、奇数も4枚。両方が少なくとも1枚ずつ、という条件に反するのは、どちらかが0枚になる場合である。3枚選ぶので、残る一方が3枚となり、「全部偶数」「全部奇数」の2場合に分かれる。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 3枚なら偶数1枚・奇数2枚、または偶数2枚・奇数1枚はどちらも求める条件を満たします。これは余事象ではありません。
2. 選択肢2：不正解 — 偶数2枚なら残りは奇数1枚なので条件を満たします。また、条件を満たさないすべて奇数の場合も数えていません。
3. 選択肢3：不正解 — 偶数が含まれても奇数もあれば条件を満たします。片方があることだけでは、条件不成立を判断できません。
4. 選択肢4：正解 — 両方の種類を含まないとは、片方だけで3枚を選ぶことです。すべて偶数とすべて奇数は同時には起こりません。

次の段階へ渡す結果：余事象は全部偶数または全部奇数。各種類は4枚で、2場合は重ならない。

正解：3：1−{C(4,3)＋C(4,3)}/C(8,3)

本文の条件：1、2、3、4、5、6、7、8が1枚ずつ書かれた8枚のカード ／ 偶数のカードと奇数のカードが少なくとも1枚ずつ含まれる

両方を含まない場合は、偶数4枚から3枚を選ぶC(4,3)通りと、奇数4枚から3枚を選ぶC(4,3)通り。重なりがないので加える。全体C(8,3)＝8×7×6/(3×2×1)で割り、1から引く。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 全部偶数と全部奇数は同時に選ぶ条件ではありません。「または」で分かれ、重ならないので積ではなく和です。
2. 選択肢2：不正解 — 全部偶数か全部奇数の片方しか引いていません。余事象には2つの重ならない場合が含まれます。
3. 選択肢3：正解 — 全3枚組に対する、重ならない2つの余事象の組数を足して確率にし、1から引きます。
4. 選択肢4：不正解 — これは条件を満たさない確率です。求めるのは両方の種類を含む確率なので、さらに1から引く必要があります。

次の段階へ渡す結果：求める確率は1−{C(4,3)＋C(4,3)}/C(8,3)。

正解：6/7

本文の条件：1、2、3、4、5、6、7、8が1枚ずつ書かれた8枚のカード ／ 偶数のカードと奇数のカードが少なくとも1枚ずつ含まれる

C(4,3)＝4、C(8,3)＝56より、確率は1−(4＋4)/56＝1−1/7＝6/7。両方を含む場合を直接数えるなら、偶数1枚・奇数2枚と偶数2枚・奇数1枚を足して(4×6＋6×4)/56としても同じ結果になる。

結果として確認すること：偶数と奇数が少なくとも1枚ずつ含まれる確率は6/7。

次に解くときは：「両方を少なくとも1つずつ」の余事象は片方が0である場合。重なりがなければ場合の数を足す。

正解：4：オンラインを希望する1年生と2年生を合わせた18＋24人。

本文の条件：100人から1人を等確率で選ぶ ／ オンライン連絡を希望している

オンラインを希望しているという情報から、分母はその列の18＋24＝42人となる。100人からの選び方が等確率なので、この42人に条件を絞った後も各人を同じ重みで数えられる。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 100人は条件を得る前の全体です。オンライン希望と分かった後は、紙を希望する生徒を分母から除きます。
2. 選択肢2：不正解 — オンライン希望者には2年生も含まれます。まだ学年は分かっていないので、1年生だけに限定できません。
3. 選択肢3：不正解 — これを分母にすると2年生の中でオンラインを希望する確率になります。条件と求める事象を逆にしています。
4. 選択肢4：正解 — 分かっている条件はオンライン希望です。その列の両学年を合わせた集団に絞り、その中の2年生の割合を求めます。

次の段階へ渡す結果：条件を満たす全体はオンライン希望者18＋24＝42人。

正解：3：24/(18＋24)

本文の条件：100人から1人を等確率で選ぶ ／ オンライン連絡を希望している

前段の全体はオンライン希望者42人である。この中で2年生に該当するのは24人なので、P(2年生｜オンライン)＝24/(18＋24)となる。逆向きのP(オンライン｜2年生)＝24/(24＋16)と区別する。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 分母が2年生全員なので、2年生と分かったときにオンラインを希望する確率です。条件の向きが逆です。
2. 選択肢2：不正解 — 分母は正しいですが、18は1年生のオンライン希望者です。求める学年が2年生なので分子は24です。
3. 選択肢3：正解 — オンライン希望者の中で2年生に当たるのは24人です。前段で絞った全体の人数18＋24で割ります。
4. 選択肢4：不正解 — 2年生全員の割合であり、オンライン希望という条件を反映していません。紙を希望する2年生も分子に入っています。

次の段階へ渡す結果：P(2年生｜オンライン)＝24/(18＋24)。

正解：4/7

本文の条件：100人から1人を等確率で選ぶ ／ オンライン連絡を希望している

24/(18＋24)＝24/42＝4/7。オンライン希望という条件で選び直した集団のうち、2年生が占める割合である。24/40は逆向きの条件付き確率なので、分母を確かめることが大切である。

結果として確認すること：オンライン希望と分かったとき、2年生である確率は4/7。

次に解くときは：表の条件付き確率は、分かっている情報で行または列を絞り、その合計を分母にする。

正解：2：右3回・上2回の計5回進み、PとQの両方を通るならPを先に通る。

本文の条件：右へ1進むか、上へ1進む

B(3,2)に着くには右へ3回、上へ2回、計3＋2＝5回進む。右または上だけなので座標は減らず、P(1,1)とQ(2,1)を両方通る場合はA→P→Q→Bの順になる。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — 移動の順序を変えると途中で通る格子点が変わります。右3回・上2回という回数が同じでも経路は異なります。
2. 選択肢2：正解 — Bの座標から右3回・上2回です。QからPへはx座標を減らす必要があるため、両方を通る経路ではPが先になります。
3. 選択肢3：不正解 — Q(2,1)からP(1,1)に戻るには左へ進む必要があります。右と上だけという条件では、その順序は不可能です。
4. 選択肢4：不正解 — 右への移動はx座標、上への移動はy座標を増やします。B(3,2)なので右と上の回数が逆です。

次の段階へ渡す結果：全経路は5回中の上2回の位置で決まる。P、Qの両方を通る順序はP→Q。

正解：3：{C(2,1)×C(3,1)−C(2,1)×C(2,1)}/C(5,2)

本文の条件：右へ1進むか、上へ1進む ／ 全カードから1枚を等確率で選ぶ ／ Pを通り、Qを通らない

全体は上2回の位置を選ぶC(5,2)。Pを通る数は、A→PのC(2,1)とP→BのC(3,1)の積。前段より両方通る順序はP→Qで、その数はC(2,1)×1×C(2,1)となる。Pを通る数から、PもQも通る数だけを引くため、式の分子はこの2つの積の差である。

全選択肢の確認

1. 選択肢1：不正解 — これはPとQを両方通る経路の割合です。求めるのはPを通りQは通らない経路なので、引く側の数になっています。
2. 選択肢2：不正解 — 後半はQを通る全経路です。Pを通らない経路まで引いてしまいます。引くのはPを通る経路の中でQも通るものだけです。
3. 選択肢3：正解 — A→PとP→Bの経路の積から、A→P→Q→Bの経路の積を引きます。P→Qは右1回だけなので1通りです。
4. 選択肢4：不正解 — これはPを通るすべての経路の割合です。その中にはQも通る経路が含まれるので、除外条件が未処理です。

次の段階へ渡す結果：確率は{C(2,1)×C(3,1)−C(2,1)×C(2,1)}/C(5,2)。

正解：1/5

本文の条件：右へ1進むか、上へ1進む ／ 全カードから1枚を等確率で選ぶ ／ Pを通り、Qを通らない

C(2,1)＝2、C(3,1)＝3、C(5,2)＝10より、確率は(2×3−2×2)/10＝(6−4)/10＝1/5。経路ごとのカードを等確率で選ぶため、条件を満たす経路の本数を全経路の本数で割ってよい。

結果として確認すること：Pを通りQを通らない確率は1/5。

次に解くときは：「Pを通りQを通らない」はPを通る全体からPとQの両方を通る部分だけを除く。